x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

Elementi di fisica
e la velocità in funzione del tempo è espressa da:
[5.16]
vx ( t)
= !gt
Il problema richiede di calcolare la velocità al momento in cui il corpo raggiunge
il suolo. Tradotto in termini matematici, significa che dobbiamo calcolare
il valore di v all’istante t' nel quale x(t')=0. La [5.15] ci fornisce
un’equazione dalla quale si ricava il valore di t’:
[5.17]
0 = ! 1
g "
2 t 2 + h ; t " =
Sostituendo il valore calcolato di t’ nella [5.14], si ottiene:
[5.18]
vx ( t ! ) = "g t ! = "g
2 h
g
2h
g
= " 2 g h
Il segno negativo del risultato esprime il fatto che la velocità è diretta , in
senso contrario all’orientazione dell’asse x e quindi verso il basso.
b) Modifichiamo ora il problema precedente. Supponiamo che il corpo venga lanciato
sempre dall’alto della torre, ma con una velocità iniziale di modulo v0 in direzione orizzontale.
Si calcoli a quale distanza dalla base della torre il corpo arriva a terra e
con quale velocità.
Il moto non è ora più unidirezionale, ma bidimensionale, nel piano definito
!
dalla direzione di v 0 e dalla verticale. Consideriamo perciò una terna di riferimento
cartesiana, con origine ai piedi della torre, in cui l’asse x sia orientato
!
lungo la direzione di v 0 e l’asse y in direzione verticale verso l’alto. Essendo
il moto bidimensionale, ci interessano solo queste due componenti.
I dati del nostro problema, da inserire nella formula risolutiva, sono dunque:
[5.19] ax= 0; ay= – g; x(0)=0; y(0)=h; vx(0)=v0; vy(0)=0
Se ne deduce che la legge oraria del moto ha la forma:
[5.20]
e la velocità è:
[5.21]
x(t) = v0t y(t) = ! 1
2 gt 2 "
$
#
+ h
% $
" vx ( t)
= v0 #
$ vy ( t)
= !g t
Il problema chiede a quale distanza dalla torre il corpo arrivi a terra, cioè
qual è il valore che assume la variabile x quando y=0. Per ottenere il risultato
si può ricavare dalla seconda equazione della [5.20] il valore t' per cui y = 0 ,
risolvendo l’equazione:
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