x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

Elementi di fisica
Noi abbiamo considerato in precedenza la forza peso, che avevamo
detto essere una conseguenza dell’attrazione della Terra sui corpi che si
trovano in prossimità della sua superficie. Qual è dunque il legame tra
quella che noi comunemente chiamiamo forza peso e la forza di gravitazione
universale [10.1]? La formula [10.3] ci conduce alla risposta. La Terra è
con buona approssimazione una sfera; applicando la formula [10.3], in base
all’osservazione appena fatta, che il campo gravitazionale generato da
una distribuzione sferica di massa è il valore del campo gravitazionale in
prossimità della superficie è identico a quello generato da un ipotetico corpo
puntiforme d’uguale massa posizionato nel suo centro, si deduce che in
un punto sulla superficie della Terra si ha:
[10.5]
!
g = !G M T
2
RT ˆ
dove MT è la massa della terra (5,98"1024 kg) e RT il suo raggio (6 370 km).
!
Sostituendo i valori numerici, si trova che il modulo di g il valore di circa
9.83 m/s2 , che è appunto, a meno di piccole correzioni dovute principalmente
al moto di rotazione della Terra, il valore dell’accelerazione di gravità
sulla superficie terrestre.
r ,
10.3 Il moto dei pianeti e le leggi di Keplero
Analizzando le osservazioni astronomiche disponibili ai suoi tempi,
con una laboriossima serie di calcoli durata oltre 10 anni, Keplero riuscì al
principio del XVII secolo a codificare il movimento dei pianeti intorno al Sole
formulando le tre leggi, che da allora portano il suo nome:
I pianeti si muovono intorno al Sole su orbite ellittiche, di cui il Sole occupa
uno dei fuochi.
Il raggio vettore che congiunge il pianeta al Sole descrive spazi uguali in intervalli
di tempo uguali
Il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta intorno al Sole è proporzionale
al cubo delle dimensioni dell’asse maggiore dell’orbita.
Solo 80 anni più tardi Newton fu in grado di dimostrare che le tre
leggi di Keplero erano una diretta conseguenza dalla legge di gravitazione
universale [10.1] da lui enunciata.
Come esercizio, possiamo verificare la validità della terza legge nel
caso semplice di un pianeta in orbita circolare. Per muoversi con velocità v,
costante in modulo, lungo una traiettoria circolare di raggio R intorno ad
un corpo di massa M, un corpo di massa m deve essere soggetto ad
v
un’accelerazione centripeta costante, pari a
2
. Questa accelerazione è
prodotta dalla forza d’attrazione gravitazionale [10.1], che è diretta appunto
verso il corpo d massa M. Dovrà quindi essere rispettata la condizione:
[10.6]
G mM
2
v
= m 2
R R
R
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