ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

(k − 1/4)π: k ∈ Z , {−1, +1} , 1 , ∅ , R , {s: s ∈ R ∧ s < 0} = (−∞, 0) .
(notare che ∅ indica l’insieme vuoto, non lo zero)
A21. Fornire un esempio di funzione suriettiva da Q + (i numeri razionali
positivi) a Q .
Soluzione. Le risposte a questo esercizio possono differire tra loro di
molto. L’idea insita nella presente risposta è quella di estendere l’intervallo
razionale (0, 1)∩Q “tirandolo” dalla parte dello 0, fino a fargli coprire l’intero
semiasse negativo. I numeri da 1 in poi verranno invece lasciati inalterati.
Una funzione che fa il lavoro richiesto è ad es. un tratto di iperbole (in
genere la presenza di asintoti verticali permette di “allungare” una parte di
dominio). Ad es. possiamo considerare g(x) = (2x − 1)/x, la cui inversa è
g −1 (y) = 1/(2 − y). Si ha infatti che g(1) = 1, lim x→0 + g(x) = −∞ e infine
g ′ (x) > 0 (cioè g cresce) in (0,1]. Ora, come detto prima, “incollando” questa
g alla funzione identità i : [1, +∞) → [1, +∞) si ottiene la funzione richiesta.
AA
AA1. Se per ipotesi ∃x: x ∈ Q \ N ∧ x ∉ Z, è vero che x ∈ R \ Z, e che
x ∈ R \ Q, e infine che x ∈ Z ∪ Q?
Soluzione. Per ipotesi si ha che x è razionale ma non naturale, e in
effetti nemmeno intero. Quindi x può essere un qualsiasi numero razionale
non intero (essere naturale implica essere intero, dato che Z ⊃ N). La
prima risposta è affermativa, perché R ⊃ Q; la seconda risposta è negativa
e l’ultima è affermativa (notiamo che Z ∪ Q = Q).
AA2. Sia I un insieme tale che |I| = 3. Quanto vale |P(I)|? Quanto vale in
generale |P(J)| se |J| = n per un certo n?
Soluzione. Il numero dei sottoinsiemi di un insieme come ad es. {1, 2, 3}
è dato da tutte le possibilità di formare una stringa binaria di lunghezza 3
(l’i-esimo bit, se acceso, avviserà che il numero i è presente; ad esempio 110
è la stringa corrispondente al sottoinsieme {2, 3}, mentre 000 corrisponde
all’insieme vuoto). Poiché le stringhe di lunghezza 3 possono esprimere 8
valori (da 0 a 7), esse sono appunto 8. In generale, la stringa di lunghezza
n esprime 2 n valori (tutte le possibilità di accendere o spegnere gli n bit: 2
possibilità per il primo; poi, per il secondo bit, 2 per ognuna delle 2 possibilità
precedenti, ecc.), che sono appunto tanti quanti i sottoinsiemi di un insieme
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