ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

Soluzione. Poiché le due coppie di vettori non sono proporzionali, la
dimensione dei sottospazi che esse generano vale 2. Come prima risoluzione
mostriamo che ciascun vettore della seconda coppia è ottenibile mediante
una combinazione della prima coppia. Così facendo, infatti, proveremmo
che il secondo sottospazio è contenuto nel primo (...), e l’uguaglianza delle
dimensioni porterebbe subito alla conclusione. Anziché cercare opportune
combinazioni lineari mediante sistemi, è sufficiente verificare che
∣
1 0 −1
2 1 −4
5 −1 −3
= 0 ,
∣
∣
1 0 −1
2 1 −4
1 −1 1
= 0 .
∣
Due veloci calcoli danno risposte affermative.
Come seconda risoluzione, dimostriamo che il rango della matrice
⎛
⎞
1 0 −1
2 1 −4
A = ⎜
⎟
⎝ 5 −1 −3 ⎠
1 −1 1
è uguale a 2 (ciò implicherebbe che le due ultime righe si ottengono come
comb. lin. delle prime due, e seguirebbe la stessa conclusione di prima). A tal
fine possiamo applicare il teorema degli orlati al minore 2×2 in alto a sinistra
– svolgendo in realtà calcoli uguali ai precedenti – oppure possiamo ridurre
a scala per righe la trasposta di tale matrice (equivalentemente, riduciamo a
scala per colonne la matrice iniziale). Abbiamo dunque:
A T =
⎛
⎜
⎝
1 2 5 1
0 1 −1 −1
−1 −4 −3 1
⎞
(r 3 → r 3 + 2r 2 ) ⇒
⎟
⎠ (r 3 → r 3 + r 1 ) ⇒
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1 2 5 1
0 1 −1 −1
0 0 0 0
1 2 5 1
0 1 −1 −1
0 −2 2 2
⎞
⎟
⎠ ,
e quindi il rango vale appunto 2. Potevamo anche ridurre a scala per righe,
dall’inizio.
BB6. Determinare un sistema di (una o più) equazioni che descriva il sottospazio
dell’esercizio BB5. Svolgere lo stesso esercizio anche per il sottospazio
〈(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 2)〉. Descrivere infine entrambi i sottospazi mediante
equazioni parametriche.
28
⎞
⎟
⎠