ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

gli aggiungiamo alcun elemento; vedere anche qui l’es. A5). Dunque si ha
che a ∈ X ⇒ a ∈ X ⇒ a ∈ X ∧ a ∈ X ⇒ a ∈ X ∩ X (usando la proprietà
di “idempotenza” di “et”, che si apprezza bene ad es. nel dire “sappi che
oggi mi sono svegliato alle sei e mi sono svegliato alle sei”). Notiamo che in
questo caso l’idempotenza è stata usata per raddoppiare la formula, mentre
nell’altro caso si era usata per dimezzarla, ma il principio è lo stesso.
A4. Studiare la relazione γ in Z × Z definita da m γ n ⇔ m − n è divisibile
per 7 (equivalentemente, m − n è un multiplo di 7).
Soluzione. Facciamo un esempio per “rompere il ghiaccio”: 1000 è in
relazione con 223 perché la loro differenza è uguale a 777, che è divisibile per
7. Ovviamente vale la stessa proprietà anche se scambiamo i due numeri.
Come altro esempio (che conviene fare sempre, almeno per avere le idee un
po’ piú chiare), due numeri uguali sono in ogni caso in relazione, poiché la
loro differenza è 0, che è divisibile per 7 (notiamo – a prescindere dal presente
esercizio – che invece 7 non è divisibile per 0; infatti non esiste alcun numero
che moltiplicato per 0 dia 7). Ora vediamo, più formalmente, quali proprietà
valgono in generale per γ: poiché ∀ x ∈ Z x − x = 0 = 7 · 0, si ha che γ è
riflessiva; poiché ∀ x, y ∈ Z (x − y = 7a (∃a ∈ Z) ⇒ y − x = 7(−a)), si ha
che γ è simmetrica; anche la transitività vale, ma dobbiamo faticare un po’
di più: se x − y = 7a e y − z = 7b , si ha che x − z = x − y + y − z =
(x − y) + (y − z) = 7a + 7b = 7(a + b). Abbiamo perciò scoperto che γ è
una relazione di equivalenza. Il relativo insieme quoziente consiste di 7 classi,
ognuna delle quali contiene tutti i numeri che danno un ben preciso resto se
divisi per 7. Ad esempio [4] = {4, 11, 18, 25, −3, −10, −17, ...} (ricordiamo
che, ad esempio, la divisione euclidea tra −17 e 7 dà −17 = 7 · (−3) + 4;
infatti il prodotto tra il quoziente (−3) e il divisore (7) non deve superare il
dividendo (−17), nemmeno nel caso di numeri negativi, e il quoziente deve
essere il massimo possibile). Le sette classi, in effetti, si ottengono prendendo
la classe [0], cioè i multipli di 7, e traslandola nei sei modi possibili lungo
l’asse dei numeri relativi.
A5. Dati due insiemi qualsiasi X, Y , dimostrare che X ∩Y ⊆ X, X ∪Y ⊇ X,
X ∩ Y = Y ∩ X.
Soluzione. Risolviamo questo esercizio utilizzando le proprietà che definiscono
un insieme, anziché manipolare i connettivi logici. X ∩ Y consiste
degli elementi in comune a X ed Y , quindi ogni elemento di tale intersezione
appartiene in particolare a X. Invece X ∪ Y contiene sia gli elementi di X
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