ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

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ottenuta mettendo in riga i tre vettori ha determinante nullo, e dunque, per un noto teorema, che essa ha le righe (e anche le colonne, in effetti) linearmente dipendenti. Più precisamente, il suo “rango” – e cioè il numero massimo di righe lin. indip. – vale al massimo 2. I tre vettori sono perciò lin. dip. e non possono pertanto costituire una base. Esisteranno cioè vettori che non possono essere generati come combinazione lineare dei tre vettori iniziali. B11. Eseguire tutti i prodotti possibili tra coppie delle seguenti 9 matrici: A = ( 1 −2 −3 2 0 −2 D = ⎛ G = ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ) 1 −2 −3 2 0 −2 −1 −1 0 1 2 −3 4 Soluzione. ( ) 0 1 AC = , AD = 4 −2 , B = ( 0 −2 3 ) , C = ⎞ ⎟ ⎠ , E = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 −1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎝ 1 −2 2 0 −1 −1 ⎟ ⎠ , F = (π) , ⎞ ( ) −3 ⎟ ⎠ , H = , I = ( 0 1 −2 3 2 ) . ( 0 1 1 4 −2 −6 BD = ( −7 −3 4 ) , BE = ( −7 ) , CA = EB = DC = ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ 0 1 4 −2 −3 2 0 −2 3 0 −4 6 0 2 −3 ⎞ ⎟ ⎠ , D 2 = ⎞ ⎟ ⎠ , EF = ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ , ) ( ) 0 , AE = , BC = ( −7 −3 ) , 4 ⎛ ⎜ ⎝ 0 1 1 4 −2 −6 −3 2 5 π 2π −π ⎞ ⎟ ⎠ , EI = −3 −2 1 2 −4 −6 −3 2 5 ⎞ ⎟ ⎠ , DE = ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ , CH = 0 4 −3 ⎞ ⎟ ⎠ , 0 −2 3 2 0 −4 6 4 0 2 −3 −2 F B = ( 0 −2π 3π ) , F 2 = ( π 2 ) , F I = ( 0 −2π 3π 2π ) , 22 ⎞ ⎟ ⎠ , ⎛ ⎜ ⎝ −5 −6 2 ⎞ ⎟ ⎠ ,
ecc. ecc. (GB è 4 × 3, GF è 4 × 1, GI è 4 × 4, HB è 2 × 3, HF è 2 × 1, HI è 2 × 4, IG è 1 × 1). B11bis. È vero che il prodotto tra matrici quadrate è commutativo? Soluzione. In genere no. Ad esempio ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 3 1 1 7 1 1 1 1 3 3 7 · = ma · = 2 4 2 0 10 2 2 0 2 4 2 6 ) . B12. Utilizzare la regola di Cramer in tre modi distinti per risolvere il seguente sistema, “spostando” a destra del segno “=” tre distinte coppie di variabili. Interpretare poi geometricamente le soluzioni. ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ Soluzione. La relativa matrice è ⎛ A = x 1 − 2x 2 + 3x 3 + x 4 + x 5 = 1 −x 1 + x 2 − x 4 − x 5 = 0 x 1 + x 3 + x 4 + x 5 + 7 = 0 ⎜ ⎝ 1 −2 3 1 1 ‖ 1 −1 1 0 −1 −1 ‖ 0 1 0 1 1 1 ‖ −7 . ⎞ ⎟ ⎠ . Notiamo che tre colonne di A inc coincidono. Dunque al fine di ottenere un minore 3 × 3 con determinante non nullo, dobbiamo prenderne solo una (in tre modi, quindi) e poi restano le altre due colonne obbligatorie (la seconda e la terza, sperando che le tre colonne da esaminare siano lin. ind. e cioè rendano il determinante non nullo). Il minore 3 × 3 estremo a sinistra ha in effetti determinante non nullo (uguale a −4). Possiamo allora considerare x 4 , x 5 come parametri e risolvere, con l’usuale regola di Cramer, il sistema ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x 1 − 2x 2 + 3x 3 = 1 − s − t −x 1 + x 2 = s + t x 1 + x 3 = −7 − s − t Le ∞ 2 (cioè dipendenti da 2 parametri) soluzioni sono ( − 11 2 − s − t , −11 2 , −3 2 , s , t ) . ∀ s, t ∈ R . Notiamo che l’insieme delle soluzioni non è un sottospazio – ad es. esso non contiene lo 0. Ciò era prevedibile, perché il sistema iniziale non era omogeneo. 23
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