ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

altre due, otteniamo i tre generatori (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1). Affinché
essi formino una base, devono essere lin. indip. (oppure potremmo mostrare
che formano un insieme minimale di generatori – e dunque che non possiamo
rinunciare ad alcuno di loro – ma non percorriamo questa strada). L’indipendenza
lineare si dimostra facilmente supponendo che per certi α, β, γ si abbia
α(1, 0, 0, 1) + β(0, 1, 0, 1) + γ(0, 0, 1, 1) = 0 (cioè (0,0,0,0) ). Si ha allora che
(α, β, γ, α + β + γ) = 0 da cui segue facilmente che i tre coefficienti devono
essere nulli. Dunque una base è quella formata dai tre generatori trovati e,
in particolare, dim(T ) = 3.
Nel secondo esempio, si arriva facilmente alla conclusione che una base è
{(2, 1)}, e che in particolare dim(U) = 1.
B4. Dimostrare che il prodotto scalare, × , è associativo rispetto alla moltiplicazione
con scalari, e distributivo rispetto alla somma di vettori. Mostrare
poi che esistono vettori di R 2 non nulli ma il cui prodotto scalare è nullo.
Soluzione. Preso un numero reale λ e tre vettori u = (u 1 , u 2 , ..., u n ), v =
(v 1 , v 2 , ..., v n ), w = (w 1 , w 2 , ..., w n ) ∈ R n , si ha che
λ · (u × v) = λ ·
e inoltre si ha che
∑
1≤i≤n
u × (v + w) = ∑
= ∑
1≤i≤n
u i v i = ∑
1≤i≤n
1≤i≤n
u i v i + ∑
λ(u i v i ) = ∑
u i (v i + w i ) = ∑
1≤i≤n
1≤i≤n
1≤i≤n
(λu i )v i = (λ · u) × v
(u i v i + u i w i ) =
u i w i = u × v + u × w .
(essenzialmente, nel secondo calcolo abbiamo utilizzato la distributività dell’usuale
prodotto · tra numeri, rispetto alla somma +) Per rispondere all’ultima
domanda basta esibire due vettori come ad es. (1, 0) e (0, 1), ma anche ad
es. (30, 12) e (−2, 5). Notiamo, con l’occasione, che se tracciamo tali coppie su
un piano coordinato esse risultano ortogonali. Uno degli aspetti interessanti
di × è infatti il suo “reagire” all’ortogonalità mediante la risposta “zero”.
Tale proprietà è in effetti un caso particolare del bel teorema (un ponte,
possiamo dire, tra l’algebra e la geometria) secondo il quale il prodotto scalare
di due vettori del piano o dello spazio (dove le cose si fanno ancora più interessanti)
è precisamente il coseno dell’angolo che essi formano, moltiplicato
per le due rispettive lunghezze dei vettori.
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