ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

o di più, addirittura infinite! Quest’ultima implicazione ha un ruolo cruciale
in tutta la teoria dei sistemi lineari, e verrà dimostrata durante il corso.
A17. Quante funzioni suriettive esistono da un insieme X non vuoto a un
insieme {y} che consiste cioè di un punto solo? E quante funzioni iniettive
esistono da {y} a X?
Soluzione. L’unica funzione suriettiva da X a {y} è anche l’unica funzione
in generale. Infatti l’immagine di un qualsiasi elemento di X deve appartenere
a {y}, quindi deve essere necessariamente uguale a y, dunque per
costruire una funzione abbiamo soltanto una scelta, obbligata. Al contrario,
qualsiasi funzione f : {y} → X è iniettiva (è anche suriettiva se |X| = 1), ed
esistono tante funzioni quanti sono i modi di applicare y in X scegliendo un
elemento x ∈ X, cioè |X| modi.
A18. Data una relazione binaria R su un insieme A, è sempre possibile
definire una funzione f : A → A mediante: f(x) = y con y tale che xRy (per
qualsiasi x ∈ A)?
Soluzione. Una tale definizione è possibile soltanto quando per ciascun
x fissato esiste ed è unico l’elemento y ∈ A tale che xRy. Infatti affinché
una funzione sia correttamente definita, occorre che qualunque elemento del
dominio abbia un’immagine, e che tale immagine sia unica. Ad es. la relazione
“amicizia” non permette di definire una funzione, perché – supponendo
questa volta che non sia vero che chiunque è amico di se stesso – può
benissimo accadere che qualche elemento x non abbia amici (quindi ci sarebbero
problemi col dominio), o ne abbia più di uno (problemi con l’immagine:
non sappiamo quale amico y dobbiamo associare all’elemento x). Un modo
per ottenere una funzione da tale relazione è quello di assegnare x all’amico
y conosciuto per ultimo oppure avente la minima età, ecc. . Si dovranno anche
assegnare tutti gli eventuali “misantropi” (che non hanno amici) ad un
fissato y “di salvataggio”, es. y = prof. Vietri, così da poter dare un senso a
f(x) in tutti i casi.
A19. Studiare le 4 seguenti relazioni r i , definite in R: x r 1 y ⇔ x 2 − y 2 = 0;
x r 2 y ⇔ x 3 − y 3 = 0; x r 3 y ⇔ x 2 − xy = 0; x r 4 y ⇔ x 2 − y = 0.
Soluzione. r 1 equivale all’uguaglianza dei valori assoluti di x e y. Essa
è perciò una relazione di equivalenza (essenzialmente perché si riferisce all’uguaglianza
di due grandezze), ed ha per quoziente una struttura “essenzialmente
uguale” all’insieme dei numeri reali non negativi. La classe di equi-
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