ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

una combinazione lineare in S (quando si presentassero ripetizioni di vettori,
cioè se ∃i, j: v i = w j , sommeremmo i relativi coefficienti, a i e b j ). Poi,
moltiplicando il primo elemento per uno scalare qualsiasi, λ, otteniamo (distribuendo)
λa 1 v 1 + λa 2 v 2 + ... + λa g v g , che è di nuovo un elemento di 〈S〉.
Dunque l’insieme richiesto è un sottospazio.
D2. Utilizzando il teorema secondo cui una matrice con due righe uguali ha
determinante nullo, e il teorema di multilinearità del determinante (vedere
anche l’es. C11), dimostrare che scambiando due righe di una data matrice,
M, il determinante della matrice ottenuta, N, è l’opposto di det(M).
Mostrare poi, con un controesempio, che il viceversa di questa proprietà non
vale.
Soluzione. Siano i e j gli indici delle righe in questione; indicheremo tali
righe con r i e r j . Sia ora R la matrice ottenuta rimpiazzando sia r i che r j con
r i +r j . Applicando il noto teorema, sopra ricordato, abbiamo che det(R) = 0.
Prima di procedere con i calcoli denotiamo con I la matrice ottenuta da M
rimpiazzando r j con r i + r j , e con J la matrice ottenuta ulteriormente da I
rimpiazzando r i con r j . Denotiamo infine con II e JJ le matrici che hanno
la i-esima e j-esima riga uguali rispettivamente a r i e r j . Applicando la
linearità di det su ogni riga fissata, abbiamo dunque che det(R) = det(I) +
det(J) = (det(II)+det(M))+(det(N)+det(JJ)) = 0+det(M)+det(N)+0.
Ricordandoci che det(R) = 0 otteniamo che det(M) = −det(N).
Come controesempio possiamo scegliere una matrice M che abbia determinante
non nullo, e costruiamo poi N semplicemente moltiplicando una riga
di M per −1. Il determinante infatti “si accorge” di questa modifica e diventa
di segno opposto per una nota proprietà – che è in effetti un caso particolare
della linearità. Ma N non si può ottenere scambiando alcuna coppia di righe
di M (notare che qualsiasi riga si scelga, non c’è il rischio che essa sia nulla...
perché?).
G - Altri esercizi
G1. Scrivere l’equazione canonica della circonferenza di centro A = (8, 5) e
di raggio 4. Scrivere poi la sua nuova equazione a seguito di una rotazione
(degli assi) di 60 gradi in senso antiorario.
Soluzione. Per la prima equazione otteniamo: (x − 8) 2 + (y − 5) 2 = 4 2 ,
cioè x 2 + y 2 − 16x − 10y + 73 = 0. Per ricavare la seconda equazione ragioniamo
in due modi. Primo modo: utilizziamo la matrice del cambiamento
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