ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

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si ha che X ∩ (Y ) = (X ∩ Y ) ∪ ∅. Dunque in tutti i casi visti non occorre fare dimostrazioni laboriose come nel caso generale, poiché le formule che si ottengono sono sempre immediate da dimostrare. A9. Delle due formule di De Morgan, dimostrare la seguente: ∀Y ⊆ X, Z ⊆ X C X (Y ∩ Z) = C X Y ∪ C X Z . Fornire poi un esempio reale inerente a tale formula. Soluzione. Per un qualsiasi elemento a ∈ X si ha che a ∈ C X (Y ∩ Z) ⇔ a ∈ X ∧ a ∉ (Y ∩ Z) ⇔ a ∈ X ∧ ¬(a ∈ Y ∧ a ∈ Z) ⇔ a ∈ X ∧ (a ∉ Y ∨ a ∉ Z) ⇔ (a ∈ X ∧ a ∉ Y ) ∨ (a ∈ X ∧ a ∉ Z) ⇔ a ∈ C X Y ∨ a ∈ C X Z ⇔ a ∈ C X Y ∪C X Z (in effetti potevamo fare una dimostrazione più facile trascurando l’appartenenza ad X, che è una sorta di insieme “universo”). Dunque gli ingredienti fondamentali sono stati il “cambio” operato dalla negazione e la distributività di “et” rispetto a “vel”. Come esempio, sia X l’insieme degli studenti del presente corso. Sia poi Y il sottoinsieme degli studenti disattenti e Z il sottoinsieme degli studenti che parlano durante la lezione. Allora C X (Y ∩ Z) contiene ogni studente che non sia [disattento e “chiacchierone”] al tempo stesso. Un qualsiasi suo elemento è attento oppure quieto, e infatti appartiene a C X Y ∪ C X Z (ovviamente un valore relativamente alto di |Y ∩ Z| non giova affatto alla riuscita del corso, mentre Z \ Y contiene in genere studenti che stimolano la conversazione costruttiva – ma non devono fare troppe domande agli studenti vicini o al professore!). A9bis. Dimostrare che ∀X ⊆ Y C Y (C Y X) = X. Soluzione. Si tratta in effetti di un gioco di parole, riconducibile a frasi del tipo “su questo tavolo non vedo un giornale che non sia vecchio” (cioè tutti i giornali che vedo sul tavolo sono vecchi) oppure a proprietà algebriche del tipo “meno per meno fa più ”. Dunque si ha che C Y X consiste degli elementi di Y che non appartengono ad X; invece il suo complementare in Y consiste – com’è ovvio – degli altri elementi di Y , cioè precisamente di quelli appartenenti ad X. Formalmente, tutto dipende dal fatto che ¬(¬P ) ⇔ P per ogni proprietà P (diciamo che ¬ è un’involuzione). A9ter. È possibile che, per un dato insieme A, si abbia A × A = A? Si può avere invece |A × A| = |A|? 4
Soluzione. Le coppie di un prodotto cartesiano sono, per loro natura, diverse dai singoli componenti che appartengono ai due insiemi iniziali (in questo esercizio, in effetti, i due insiemi coincidono, ma il concetto non cambia). Quindi l’unica situazione in cui la prima uguaglianza si verifica è quando A = ∅, poiché il prodotto cartesiano di due insiemi vuoti è ancora l’insieme vuoto (non ci sono coppie). Invece, nel secondo caso, l’uguaglianza è di tipo numerico ed equivale ad |A| 2 = |A|. Dunque essa ha luogo qualora |A| = 0 (cioè A = ∅) ma anche se |A| = 1 (cioè se A consiste di un solo elemento; in simboli, A = {a} ∃a). Non vi sono altre soluzioni perché l’equazione è di secondo grado, e abbiamo già due radici. Notiamo che la seconda situazione è più “generale” della prima (cioè ingloba la prima e contiene anche altri casi). Ad es. infatti se A = {3} si ha {3} × {3} = {(3, 3)} ≠ {3} ma |{3} × {3}| = |{(3, 3)}| = 1 = |{3}|. A10. Dimostrare che se ρ è una relazione binaria sia di ordine che di equivalenza, allora in effetti ρ è la relazione di uguaglianza. Soluzione. Consideriamo l’insieme X su cui è definita ρ. Innanzitutto, a causa della riflessività (che oltretutto vale sia per l’ordine che per l’equivalenza), si ha che ∀x ∈ X xρx. Poi, per ogni x, y ∈ X si ha che xρy ⇒ yρx a causa della simmetria dell’equivalenza, ma ora l’antisimmetria dell’ordine implica che y = x. Dunque al di fuori delle coppie {(x, x): x ∈ X} non ve ne possono essere altre. A11. Su un insieme X tale che |X| = 20 è definita una relazione ρ ⊆ X × X tale che |ρ| = 21. È anche noto che ρ è riflessiva. Una tale relazione può essere anche simmetrica, o transitiva, o antisimmetrica? Soluzione. Le coppie in relazione sono quelle del tipo (x, x) per ogni x ∈ X (a causa della riflessività) più una sola coppia, necessariamente del tipo (x 0 , x 1 ) con x 0 ≠ x 1 . Dunque ρ non è simmetrica, poiché x 0 ρx 1 ⇏ x 1 ρx 0 . Essa è invece transitiva, poiché se aρbρc allora o a = b = c, o a = x 0 , b = c = x 1 , o infine a = b = x 0 , c = x 1 ; dunque in tutti e tre i casi si ha che aρc. L’antisimmetria di una relazione è pregiudicata esclusivamente da situazioni del tipo aρbρa con a ≠ b. Ma nel nostro caso ciò non può verificarsi, poiché gli unici due elementi distinti in relazione tra loro sono x 0 e x 1 , e non si ha che x 1 ρx 0 . Dunque sussiste l’antisimmetria. Notiamo che già nel caso in cui |X| = 22 non è più possibile dare risposte certe alle tre domande. Ad es. si potrebbe dimostrare che a seconda della scelta dell’ulteriore coppia di elementi in relazione (la 22-esima) ρ può essere 5
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