ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

terzo coefficiente non sia nullo (...). L’unica possibilità che resterebbe per
ottenere una combinazione lineare non banale sarebbe quella di generare 0
mediante αv 1 + βv 2 , con α ≠ 0 oppure β ≠ 0, ma si vede facilmente che
ciò non è possibile. Infatti i due vettori v 1 , v 2 non sono proporzionali, e
la proporzionalità è proprio equivalente alla dipendenza lineare, quando si
tratta di due soli vettori.
B7. Riconoscere se prima l’insieme {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)}, e poi {(π, 3π,
2π), (6, 18, 11), (6, 18, 12)} sono basi di R 3 .
Soluzione. Chiediamoci se i primi tre vettori sono linearmente dipendenti
(se non lo sono, essi formano infatti una base, poiché sono tanti quanto la
dimensione). Potremmo usare il rudimentale calcolo che conduce a un sistema,
oppure potremmo cercare “a tentativi” una combinazione lineare che
non abbia tutti i coefficienti nulli – se siamo convinti, o almeno speriamo,
di trovare una risposta positiva. Invece, standardizziamo l’esercizio grazie al
calcolo del determinante della matrice ottenuta ponendo i tre vettori in riga.
Sviluppando lungo la prima riga si ha:
∣
1 0 0
0 1 0
1 1 0
= 1 ·
∣
∣
1 0
1 0
∣ ∣ ∣∣∣∣ ∣ − 0 · 0 0
∣∣∣∣ 1 0 ∣ + 0 · 0 1
1 1 ∣ = 0
(è inutile calcolare il secondo e terzo determinante di ordine 2, perché verranno
moltiplicati per 0 – questo è uno degli aspetti piacevoli del primo
teorema di Laplace). Potevamo osservare, in alternativa, che una colonna
della matrice è nulla. Deduciamo insomma che non siamo in presenza di una
base. Nel secondo caso si ha:
∣
π 3π 2π
6 18 11
6 18 12
= π ·
∣
∣
18 11
18 12
∣ ∣ ∣∣∣∣ ∣ − 3π · 6 11
∣∣∣∣ 6 12 ∣ + 2π · 6 18
6 18 ∣ =
= π · 18 − 3π · 6 + 2π · 0 = 0 .
Dunque nemmeno in questo caso abbiamo una base. Anziché calcolare il determinante
potevamo accorgerci che le prime due colonne sono proporzionali
e dunque dipendenti. Per “colpa loro” l’insieme dei tre vettori è linearmente
dipendente (infatti, a prescindere dalle caratteristiche di (2π, 11, 12), si ha
che 3(π, 6, 6) − 1(3π, 18, 18) + 0(2π, 11, 12) = 0 ). Notiamo che la proporzionalità
tra colonne è “saltata all’occhio” solo dopo aver messo i vettori in riga
per formare una matrice quadrata.
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