ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

Soluzione. Trattandosi di un sistema omogeneo siamo certi che esso
ammette almeno una soluzione (quella nulla, (0,0) ) e che l’insieme delle
soluzioni forma un sottospazio. Il calcolo del rango della matrice incompleta
ci preciserà il “numero” esatto delle soluzioni, cioè il grado di libertà. Poiché
dunque ∣ ∣∣∣∣ 1 −2
3 1 ∣ = 7 ≠ 0,
tale rango vale 2. Avremo allora ∞ 2−2 soluzioni; quindi al di fuori della
soluzione nulla non abbiamo altre soluzioni (in altre parole, il sistema non
ammette autosoluzioni).
Dal punto di vista geometrico questo sistema esprime l’intersezione di due
rette r, s passanti per l’origine. Due rispettivi vettori direzionali di tali rette si
possono calcolare con la formula v → q = (−b, a) dove la retta q è espressa tramite
l’equazione “ax + by + c = 0”. Nel nostro caso abbiamo perciò v → r = (2, 1),
→
v s = (−1, 3) (equivalentemente, i due rispettivi coefficienti angolari valgono
1/2 e −3; notiamo però che la formula (−b, a) permette di coprire anche i
casi problematici in cui la retta è verticale, cioè i casi in cui b = 0, dove il
coeff. ang. non è definito).
La modifica dei termini noti, da 0 a 3, produce due nuove rette che sono
semplicemente traslate, dunque non ruotate, rispetto a quelle iniziali. Infatti
ad es. la prima retta si trasforma da y = (1/2)x a y = (1/2)x − 3/2,
dunque si “abbassa” di 3/2 senza cambiare il proprio coefficiente angolare
(questo fenomeno avviene in generale, per qualunque entità geometrica la
cui equazione si perturbi solo nel termine noto; in particolare ciò vale per
rette – due variabili – e piani – tre variabili, ma anche rette nello spazio –
due equazioni, quindi). Le due nuove rette “si andranno a intersecare” in
un altro punto del piano, ma non potranno certo divenire parallele. In termini
algebrici, il sistema associato è sempre risolubile col metodo di Cramer
(infatti la matrice incompleta resta quella di prima) e dunque otteniamo
un’unica soluzione.
C1bis. Risolvere il seguente sistema, interpretando poi le equazioni come
entità geometriche nel piano euclideo. La totalità delle soluzioni costituisce
un sottospazio di R 2 ? Ripetere poi l’esercizio sostituendo 3 a ciascuno dei
due zeri: {
x − 2y = 0
3x − 6y = 0 .
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