ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

Sostituendo gli zeri le cose cambiano. Ora abbiamo due piani passanti
per l’origine, ottenuti traslando i due piani precedenti fino appunto a far loro
attraversare lo zero. La retta che si ottiene passerà dunque per l’origine, ed è
un sottospazio (ad es. si può studiare la sua forma parametrica per scoprire
che tale scrittura verifica le proprietà di chiusura rispetto alla somma interna
e al prodotto con scalari).
C3. Illustrare la posizione dei seguenti enti geometrici – rappresentati da
singole equazioni – nel piano euclideo (i primi tre) e nello spazio euclideo (gli
altri sei). Scrivere anche le rispettive equazioni segmentarie – nei due soli
casi possibili.
(1) 3x − 2y + 1 = 0 , (2) 30x − 3 = 0 , (3) 30y − 3 = 0 ,
(4) x + y − 2z + 1 = 0 , (5) x + 2y = 4 , (6) y − 3 = 0 ,
(7) 7y + 7z + 1 = 0 , (8) 30x − 3 = 0 , (9) 30z − 3 = 0 .
Soluzione. (1) è una retta non passante per l’origine; più precisamente,
analizzando la forma segmentaria −3x + 2y = 1, deduciamo che tale retta
contiene i punti (−1/3, 0) e (0, 1/2). (2) è una retta un cui vettore direzionale
è (−b, a) = (0, 30). Dunque essa è verticale, e dovendo passare per (1/10, 0),
la sua posizione è completamente determinata. (3), similmente, è una retta
orizzontale. Potremmo trasformare l’equazione in y = 1/10 per accorgerci
che tale retta è l’insieme di tutti i punti la cui x è arbitraria e la cui y è uguale
a 1/10. (4) è un piano la cui equazione segmentaria è −x−y+2z = 1. Dunque
tre suoi punti che lo determinano sono (−1, 0, 0), (0, −1, 0), (0, 0, 1/2). In (5)
manca la z, dunque il piano è parallelo all’asse z (infatti non esiste alcuna
restrizione su tale coordinata). Il relativo sottospazio è {(x, y, z): x + 2y =
0}, e risolvendo il sistema omogeneo (che consiste di una sola equazione)
otteniamo la forma parametrica: {(−2y, y, z): y, z ∈ R}. Due generatori
indipendenti (dunque formanti una base) sono quindi (−2, 1, 0) e (0, 0, 1).
Essi descrivono la “pendenza” di questo piano. Un punto a caso, su cui
“appoggiare” la giacitura, è (4, 0, 0). Dobbiamo quindi traslare il sottospazio
di quattro unità lungo l’asse x. Possiamo notare, in alternativa, che la traccia
del nostro piano sul piano (x, y) – cioè sul “terreno” – è appunto la retta (non
pensando alla z) descritta dalla stessa equazione. Per tale retta dobbiamo far
passare un piano verticale, che è appunto il nostro oggetto. Ragionando in
modo analogo abbiamo che (6) è un piano verticale, ma parallelo sia all’asse
x che z, passante ad es. per (0, 3, 0) (pensiamo a una parete), (7) ricorda un
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