ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

come di consueto alle x 1 , x 2 prima 1,0 e poi 0,1 otteniamo i due generatori
(1, −1, 0, 0, 0) e (0, 0, 1, −1, 0). Essi non sono proporzionali e dunque
sono lin. indip. . Formano pertanto una base del sottospazio delle soluzioni.
(continua)
C5. Mostrare che la relazione τ, definita in R 3 da
uτv ⇔ u − v ∈ S ,
essendo S un fissato sottospazio 2-dimensionale, è di equivalenza. Descrivere
poi le sue classi, cioè gli elementi del suo insieme quoziente.
Soluzione. τ è riflessiva perché u − u = 0 ∈ S ∀u. È simmetrica perché
se uτv allora v − u = −(u − v) che è l’opposto di un elemento di S, cioè
u − v. Infine è transitiva perchè se uτvτz allora è vero che uτz; infatti
u − z = (u − v) + (v − z) che, essendo la somma di due elementi di S,
appartiene ancora a S.
La classe di equivalenza [0] dell’elemento nullo, appunto 0, consiste di
tutti quei vettori v tali che v − 0 ∈ S, dunque consiste precisamente di
tutti gli elementi di S. Non sarebbe difficile mostrare che, in generale, [z] è
l’insieme di tutti i vettori ottenuti sommando z a un vettore qualunque di S.
Geometricamente, la classe [0] è un piano passante per l’origine (appunto,
il sottospazio S) mentre le altre classi sono i piani paralleli a S, ottenuti
traslando S di un certo vettore z. Possiamo pensare ad una risma infinita di
fogli infinitamente vasti, eventualmente inclinata rispetto agli assi (la pendenza
è proprio quella dettata da S).
C6. Determinare tutti i valori reali del parametro k per i quali il seguente
sistema ammette un’unica soluzione. Come si comporta il sistema negli altri
casi? ⎧
⎪⎨
⎪ ⎩
2x − y + z + 1 = 0
x + 2y − 3z = −3
3y − kz + 3 = 0
Soluzione. Imponendo che il determinante della matrice incompleta 3×3,
associata a tale sistema, non sia nullo, otteniamo la condizione k ≠ 21/5.
(Osserviamo che tale valore di k è il solo a rendere le righe o le colonne della
matrice linearmente dipendenti, per un noto teorema sui determinanti e la
dipendenza lineare.)
Nel caso in cui k = 21/5 il rango della matrice incompleta scende a 2
(si consideri ad es. il minore 2 × 2 in alto a sinistra), ma anche quello della
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