ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

Il relativo insieme quoziente consiste di una classe, cioè di un punto, per ogni
dialetto (ogni classe è invece l’insieme di tutti coloro che parlano tale dialetto;
essa viene contratta in un solo punto, nell’insieme quoziente). Quindi
la cardinalità di X/ρ, cioè |X/ρ|, è proprio il numero dei dialetti presenti in
Italia.
La corrispondenza f è certamente una relazione binaria (fra insiemi diversi);
essa genera infatti ad es. la coppia ([prof.Vietri],Lazio) – perché [prof.
Vietri]={abitanti che parlano il romanesco} – oppure ([Massimo Troisi],
Campania). Ma nel caso in cui un dialetto si distribuisca tra due regioni
– come succede spesso in zone di confine regionale – tale relazione genera le
coppie ([x], y) e ([x], z) dove y e z sono due regioni distinte. Dunque f([x])
in questi casi non è univoca, e ciò impedisce a f di essere globalmente una
funzione.
Una funzione g potrebbe essere quella che associa ogni punto dell’insieme
quoziente (cioè ogni dialetto) alla regione Lazio, dunque lo associa ad
un punto fissato per tutti. Una tale funzione non sarà certo significativa dal
punto di vista glottologico, ma lo è formalmente, come funzione da un insieme
a un altro. Una funzione g ′ che invece abbia anche un riscontro applicativo
può essere la f di prima, modificata con la condizione di scegliere la regione
in cui il dialetto [x] è parlato da più individui (augurandoci che i numeri di
individui differiscano al variare delle eventuali regioni confinanti interessate).
Questo processo di selezione si rivela fondamentale in contesti di vario tipo
in cui, appunto, si debba assicurare l’unicità a partire da una corrispondenza
più generale (vedere anche l’es. A18).
AA6. Descrivere esempi concreti o astratti che riguardino i quantificatori
∃, ∀, e la negazione ¬ , mostrando anche il modo in cui quest’ultima interagisce
con i quantificatori.
Soluzione. ∀ persona ∃ un unico codice fiscale. L’unicità dell’esistenza
si può esprimere sinteticamente col simbolo ∃!: ∀ persona ∃! nonno materno.
Questi primi due esempi permettono di costruire le rispettive funzioni f, g tali
che f(persona) = codice fiscale della persona, g(persona) = nonno materno
della persona.
Vediamo un nuovo esempio: ∃ una persona p tale che ∀ persona q ≠ p si
ha che q si sente a proprio agio e si diverte in presenza di p (in altri termini,
p è una persona simpatica a tutti).
Passiamo ora alla negazione. ¬∀ ciambella essa viene col buco ⇔ ∃
ciambella che ¬ viene col buco. ¬∃ la mezza stagione ⇔ ∀ stagione ¬ è
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