ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

Soluzione. Trattandosi di un sistema omogeneo siamo certi che esso
ammette almeno una soluzione. Poiché
1 −2
∣ 3 −6 ∣ = 0,
il rango della matrice incompleta vale meno di 2 e precisamente 1 (infatti
nella matrice è presente almeno un numero diverso da 0). Avremo allora
∞ 2−1 soluzioni (quindi oltre a 0 abbiamo autosoluzioni). Eliminando ad es. la
seconda riga e scrivendo la x in funzione della y otteniamo le soluzioni (2y, y)
per ogni y reale. Potremmo anche esplicitare la y ottenendo le soluzioni
(x, x/2) con x ∈ R, che sono a ben vedere (e come è giusto che sia) le stesse
di prima.
Dal punto di vista geometrico si tratta di due rette passanti per l’origine
ma coincidenti. Ecco perché otteniamo una risposta parametrica: essa non è
altro che la medesima retta (stiamo cioè intersecando due insiemi coincidenti,
ottenendo X ∩ X = X).
Se ora sostituiamo 3 a ciascuno zero, otteniamo due rette parallele. Infatti
il rango della matrice completa sale a 2, causando l’assenza di soluzioni. Studiando
le rispettive equazioni ridotte ci accorgiamo che i coefficienti angolari
sono uguali, ma le due quote no.
C2. Risolvere il seguente sistema, interpretando poi le equazioni come entità
geometriche nello spazio euclideo. La totalità delle soluzioni costituisce un
sottospazio di R 3 ? Ripetere infine l’esercizio sostituendo 0 ai numeri 5 e 1:
{
x − 2y − z = 5
−2x + 4y + 3z = 1 .
Soluzione. La prima equazione implica che x = 2y + z + 5. Ora, usando
la seconda, si ha che −2(2y + z + 5) + 4y + 3z = 1 e dunque z = 11. Allora
x = 2y+16, e perciò la soluzione finale è parametrica: (2y+16, y, 11) ∀ y ∈ R.
(Alla luce del teorema di Rouché-Capelli diremmo che il rango della matrice
incompleta e di quella completa vale 2, da cui segue che le soluzioni sono
∞ 1 ; potevamo dunque usare fin dall’inizio la regola di Cramer generale, con
un parametro.) Abbiamo intersecato due piani nello spazio, trovando una
retta. Dunque tali piani non sono paralleli. Le soluzioni, cioè tutti i punti
di tale retta, non formano un sottospazio perché non comprendono lo zero,
cioè l’origine (0,0,0). D’altra parte ciò poteva dedursi dall’inizio, poiché il
sistema non è omogeneo.
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