ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

B8. Dimostrare che
S = {(a + 2b, 2a + 4b): a, b ∈ R}
è un sottospazio di R 2 . Definire tale sottospazio anche mediante un sistema
di 1 equazione in 2 incognite. Trovarne infine una base. Cosa cambia se
studiamo
S ′ = {(2b, 2b + 4): b ∈ R}
e infine
S ′′ = {(a + 2b, 2a + 5b): a, b ∈ R} ?
Soluzione. Effettuando il test di chiusura si ha che ∀ h, k, a, b, a ′ , b ′ ∈ R
h(a + 2b, 2a + 4b) + k(a ′ + 2b ′ , 2a ′ + 4b ′ ) = (ha + 2hb + ka ′ + 2kb ′ , 2ha +
4hb + 2ka ′ + 4kb ′ ) = ((ha + ka ′ ) + 2(hb + kb ′ ), 2(ha + ka ′ ) + 4(hb + kb ′ )) ∈ S.
Rispondiamo ora alla seconda domanda. A tal fine notiamo che la seconda
componente è il doppio della prima. In altri termini, possiamo caratterizzare
S come l’insieme {(x, y) ∈ R 2 : y = 2x}. Ecco dunque che abbiamo ottenuto
il sistema omogeneo richiesto. Esso è in effetti molto semplice, ma sempre
utile (lo vedremo in seguito):
{2x − y = 0 .
(la parentesi è superflua, ovviamente). Notiamo, a posteriori, che anziché
eseguire un noioso e rischioso (per i calcoli) test di chiusura, sarebbe più
sicuro lavorare in un’altra direzione cercando un possibile sistema associato
che sia omogeneo. Se infatti un tale sistema esiste, automaticamente (per un
noto teorema) ci troviamo di fronte a un sottospazio.
Per trovare una base di S poniamo prima a = 1, b = 0 ottenendo il
vettore (1, 2), poi a = 0, b = 1 ottenendo (2, 4). Notiamo che tali vettori sono
proporzionali e quindi lin. dip. . Per generare S ne basta dunque uno solo
(infatti la “dimensione” di S vale 1. Ciò sarà ancor più chiaro in seguito allo
studio del rango per i sistemi lineari – teor. di Rouché-Capelli). Possiamo così
dire che {(1, 2), (2, 4)} è sì un insieme di generatori, ma che essi sono... troppi,
e una spia del loro soprannumero è che essi non sono lin. indip. . Notiamo che
il metodo degli 0 e dell’1 permette di dimostrare, in alternativa ai metodi
precedenti, che S è un sottospazio. Infatti risulta che a(1, 2) + b(2, 4) =
(a + 2b, 2a + 4b) e dunque che S = 〈(1, 2), (2, 4)〉.
Nel secondo caso il test di appartenenza fallisce. Infatti si ha che h(2b, 2b+
4) + k(2b ′ , 2b ′ + 4) = ... = (2(hb + kb ′ ), 2(hb + kb ′ ) + 4h + 4k) ∉ S ′ (in genere)
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