ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

Ne segue che il sistema non ammette soluzioni, poiché i piloni della matrice
incompleta sono 2 mentre quelli della completa sono 3. Ciascuna delle tre
equazioni descrive una retta nel piano, e i vettori direttori delle tre rette
(calcolabili ad es. come (−b, a)) sono a due a due non proporzionali. Siamo
dunque in presenza di rette a due a due non parallele, e quindi a due a due
incidenti, ma non incidenti in un punto comune a tutte e tre. I tre punti di
incidenza costituiscono il triangolo richiesto.
C15. Utilizzare la riduzione a scala per risolvere il seguente sistema. Notare
il “salto” di pilone dalla seconda alla quarta colonna.
⎛ ⎞
⎛
⎞ x ⎛ ⎞
3 0 1 0
⎜
⎟
y
1
⎝ 2 1 0 2 ⎠ ⎜ ⎟
⎝ z ⎠ = ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠ .
4 2 0 1
0
w
Soluzione. Utilizziamo una riduzione a scala più generale, ammettendo
anche sostituzioni con multipli della riga stessa (più le combinazioni lineari
delle restanti righe). Operando in questo modo perturbiamo i determinanti
dei minori ma preserviamo comunque l’informazione relativa ai ranghi (che
è ciò che ci occorre effettivamente). Si ha dunque:
⎛
⎜
⎝
⇒
3 0 1 0 | 1
2 1 0 2 | 0
4 2 0 1 | 0
⎛
⎜
⎝
⎞
3 0 1 0 | 1
0 3 −2 6 | −2
0 6 −4 3 | −4
⎟
⎠ (r 2 → 3r 2 −2r 1 ) ⇒
⎞
⎛
⎜
⎝
⎟
⎠ (r 3 → r 3 − 2r 2 ) ⇒
3 0 1 0 | 1
0 3 −2 6 | −2
4 2 0 1 | 0
⎛
⎜
⎝
⎞
3 0 1 0 | 1
0 3 −2 6 | −2
0 0 0 −9 | 0
⎟
⎠ (r 3 → 3r 3 −4r 1 )
⎞
⎟
⎠ .
La variabile z corrisponde alla colonna senza pilone e dunque diviene parametro.
Il nuovo sistema è ⎧
⎪⎨
⎪ ⎩
3x = 1 − t
3y + 6w = −2 + 2t
−9w = 0
Ora la veloce risoluzione a ritroso dà w = 0 ⇒ y = −2/3 + (2/3)t e infine,
indipendentemente dai calcoli “a catena”, x = 1/3 − t/3. La quadrupla
generica è quindi
(1/3 − t/3, −2/3 + (2/3)t, t, 0) , t ∈ R .
41
.