ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

di coordinate dai vettori (1/2, √ 3/2), (− √ 3/2, 1/2) ai vettori “canonici” i, j .
Abbiamo:
( ) (
x
1
− √ ) ( ) {
3
= √2 2 X x =
1
y
3
⇔
X − √ 3
Y
2 2
1 Y
y = √ 3
X + 1Y
2 2
2 2
Sostituendo tali relazioni nella vecchia equazione, otteniamo:
( √ ) 2 (√
1 3 3
2 X − 2 Y +
2 X + 1 ) 2 ( √ ) (√
1 3
3
2 Y −16
2 X − 2 Y −10
2 X + 1 )
2 Y +73 = 0
La sistemazione di questa lunga equazione è certamente un’ottima palestra
dal punto di vista dei calcoli. Noi però passiamo al secondo modo, più diretto,
ma non senza qualche calcolo. È sufficiente conoscere le nuove coordinate del
centro; infatti da ciò seguirebbe la costruzione della nuova equazione, similmente
a quanto fatto all’inizio. Tuttavia, la matrice a nostra disposizione
non è adatta al cambio di coordinate che desideriamo. Infatti vogliamo una
legge che trasformi le coordinate (x, y) nelle nuove coordinate (X, Y ), non il
contrario. Possiamo ora ragionare in due modi, anzi in tre: o costruiamo una
nuova matrice, ponendo in colonna le coordinate dei vettori canonici rispetto
ai nuovi vettori (qui dovremmo risolvere un sistema), oppure utilizziamo
un’importante proprietà: la matrice che cerchiamo è l’inversa di quella che
abbiamo calcolato prima (in effetti, poi, tale inversa coinciderà addirittura
con la trasposta, molto più facile da ottenere; ciò accade perché i due vettori
sono sia ortogonali che di lunghezza 1 – cioè versori. Se i versori non
fossero ortogonali, o se non fossero versori, resterebbe comunque valido l’uso
dell’inversa); o infine, molto più semplicemente, risolviamo un sistema “ad
hoc” per trovare le nuove coordinate di A, senza passare per la matrice del
cambiamento di coordinate (se occorre soltanto un paio di lacci non conviene
comprare un paio di scarpe aventi quei lacci – anche se, in effetti, le nuove
scarpe potrebbero risultare utili in altre occasioni...):
( √ ) ( √
1 3
3
(8, 5) = α
2 , + β −
2
2 , 1 )
,
2
dunque α − β √ 3 = 16 e α √ 3 + β = 10, da cui segue che α = 4 + 5 √ 3/2,
β = 5/2 − 4 √ 3. L’equazione richiesta è dunque (X − α) 2 + (Y − β) 2 = 16,
ecc. .
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