ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

C9. Come si modifica (se si modifica) il determinante di una matrice se ogni
sua riga viene moltiplicata per 5? E se solo una sua riga viene rimpiazzata
dal triplo di un’altra riga?
Soluzione. Per ogni riga modificata, il nuovo determinante si quintuplica.
Dunque se partiamo da una matrice n×n con determinante d, il determinante
finale è 5 n d (notiamo che se d = 0 il determinante finale resta nullo). Un
modo “elegante” per dimostrare la stessa proprietà è quello di moltiplicare la
matrice iniziale, sia M, per la matrice R avente ogni elemento della diagonale
principale uguale a 5, e zeri altrove. Poiché det(R) è, per una nota proprietà
delle matrici triangolari, il prodotto degli elementi sulla diagonale, applicando
il teorema di Binet otteniamo:
det(MR) = det(M)det(R) = det(M) · 5 n .
Nel secondo caso il determinante è uguale a zero, perché la nuova matrice
ha almeno due righe linearmente dipendenti.
C10. Dimostrare, con un ragionamento per assurdo, che se un sistema lineare
omogeneo quadrato (cioè con matrice incompleta di tipo n × n) ammette
autosoluzioni allora il determinante della sua matrice incompleta vale 0.
Soluzione. Supponiamo per assurdo che, nelle date ipotesi, tale determinante
non sia nullo. Allora applicando il teorema di Cramer deduciamo
che il sistema ammette un’unica soluzione. D’altra parte, la soluzione nulla
(cioè una n-upla di zeri) è una soluzione, dunque l’unica soluzione è proprio
quella. Non c’è posto, perciò, per altre soluzioni, cioè per autosoluzioni.
C11. Dimostrare che una matrice quadrata le cui righe sono linearmente
dipendenti, ha determinante nullo.
Soluzione. Considerando ciascuna riga come un vettore in R t , esprimiamo
una generica matrice t × t così:
⎛
M =
⎜
⎝
r 1
r 2
.
.
r t
⎞
.
⎟
⎠
Ora per l’ipotesi del testo (usando anche un noto teorema di equivalenza tra
due proprietà), una riga deve essere combinazione lineare delle altre. Senza
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