ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

al vettore nullo. Si ha infatti che π 2 0 + 0w 1 + 0w 2 = 0 (π 2 è ovviamente
un numero non nullo scritto a caso; con l’occasione, ricordiamo che esso
vale circa 9.87, e non 180 al quadrato!), eppure i due vettori indipendenti
non sono certo proporzionali, per quanto visto sopra nel caso di due vettori.
Come altro esempio, un po’ meno banale, si scelgano due vettori della
base canonica, siano essi e i , e j (cioè i vettori con tutti zeri a parte un 1 nel
posto i, o nel posto j), e si aggiunga anche il loro vettore somma e i + e j
(notiamo che i tre vettori sono linearmente dipendenti perché, ovviamente,
1 · e i + 1 · e j − 1 · (e i + e j ) = 0). Come ultimo esempio, si considerino i vettori
(1, 2, 3, 5), (0, −1, 1, 3), (2, 3, 7, 13) (mostrare che sono lin. dip. , ecc.).
BB2. Risolvere un sistema di 3 equazioni in 3 incognite per dimostrare che
(1, 1, 0), (−2, 0, 1), (3, 5, 1) non generano v = (2, 1, 0) e dunque non sono una
base dello spazio vettoriale R 3 . Utilizzare poi questo primo esercizio per
esibire una base di R 3 .
Soluzione. Imponendo che per certi α, β, γ reali si abbia α(1, 1, 0) +
β(−2, 0, 1) + γ(3, 5, 1) = (2, 1, 0), otteniamo il sistema
(α − 2β + 3γ, α + 5γ, β + γ) = (2, 1, 0) ,
che scriviamo in forma verticale come
⎧
⎪⎨ α − 2β + 3γ = 2
α + 5γ = 1
⎪⎩
β + γ = 0
.
Nel tentativo di risolverlo, si ha che β = −γ, poi che α = 1 − 5γ, e infine che
(1−5γ)−2(−γ)+3γ = 2, che è assurdo (γ si elimina e resta la contraddizione
“1=2”). Poiché, allora, i tre vettori dati non sono generatori di tutto R 3 , essi
non sono una base.
Per quanto visto, v non è combinazione lineare dei tre vettori iniziali, e a
fortiori non lo è dei primi due, che sono però lin. indip. (non proporzionali).
Ne segue (...) che i primi due vettori insieme a v sono lin. indip. . Dunque
il primo vettore, il secondo e infine v formano una base perché forniscono il
numero massimo di vettori lin. indip. in R 3 .
BB3. Risolvere un sistema di 1 equazione in 1 incognita per dimostrare
che il vettore 73 genera il vettore 43 nello spazio vettoriale R 1 (cioè R).
Generalizzare la dimostrazione ad un sistema parametrico, sempre 1 × 1, per
provare che {73} è una base di R.
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