ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

che quelli di Y , dunque contiene in particolare tutti gli elementi di X. Infine,
gli elementi in comune a X ed Y sono esattamente quelli in comune a Y ed
X (in effetti abbiamo dovuto invocare la proprietà commutativa di “et”).
A6. Dimostrare che ∀X, Y, Z X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z.
Soluzione. Usiamo il consueto metodo della doppia inclusione. Per qualsiasi
elemento a si ha che a ∈ X ∩ (Y ∩ Z) ⇒ a ∈ X ∧ a ∈ Y ∩ Z ⇒ a ∈
X ∧ (a ∈ Y ∧ a ∈ Z) ⇒ (a ∈ X ∧ a ∈ Y ) ∧ a ∈ Z per l’associatività di “et”,
che si apprezza bene quando ed es. si elencano tre o più persone presenti
in un dato posto, e si osserva che non contano le pause o le enfasi durante
l’elencazione. Avendo dunque dimostrato una delle due inclusioni, ora in
effetti è possibile invertire tutte le implicazioni, così da ottenere la seconda
inclusione, cioè X ∩ (Y ∩ Z) ⊇ (X ∩ Y ) ∩ Z.
A7. Delle due leggi di distributività per gli insiemi, dimostrare la seguente:
∀X, Y, Z X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z). Discutere poi un esempio reale
inerente a tale proprietà.
Soluzione. L’ingrediente fondamentale nella dimostrazione è la distributività
sul fronte dei rispettivi connettivi logici. Riformuliamo perciò il
problema in termini logici, utilizziamo poi la proprietà distributiva, e torniamo
infine alla simbologia degli insiemi. Lo sviluppo temporale della dimostrazione
è scandito dai simboli ⇔, che accorpano i più deboli ⇐, ⇒, e
consentono di dimostrare le due inclusioni simultaneamente. (La proprietà
distributiva “scatta” quando interviene ⇔) ∗ Per qualsiasi elemento a si ha
dunque che a ∈ X ∩ (Y ∪ Z) ⇔ a ∈ X ∧ (a ∈ Y ∨ a ∈ Z) ⇔ ∗ (a ∈ X ∧ a ∈
Y ) ∨ (a ∈ X ∧ a ∈ Z) ⇔ a ∈ (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
Il seguente esempio mostra come la distributività permetta di farsi capire
con poco sforzo. Anziché dire: “vorrei una pizza con i funghi oppure una
pizza con le melanzane” si può dire “vorrei una pizza, con i funghi o con le
melanzane”.
A8. Rivisitare tutti i precedenti esercizi sostitutendo ∅ a X o a Y o a Z, e
verificare che si ottengono delle proprietà ancora valide.
Soluzione. A1 diviene ∅ ⊆ ∅, che è banalmente vero per qualsiasi insieme.
Anche A2 e A3 sono immediati, mentre in A5, ponendo Y = ∅, si
ottengono le formule – di immediata verifica – X ∩ ∅ = ∅ ⊆ X, X ∪ ∅ =
X ⊇ X, X ∩ ∅ = ∅ = ∅ ∩ X. In A6, ponendo ad es. Y = ∅, si ottiene
X ∩ (∅ ∩ Z) = X ∩ ∅ = ∅ = ∅ ∩ Z = (X ∩ ∅) ∩ Z. In A7, ponendo Z = ∅
3