ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

ledere la generalità (come sarà chiaro in seguito) possiamo supporre che tale
riga sia l’ultima. Avremo cioè
r t = β 1 r 1 + β 2 r 2 + ... + β t−1 r t−1
per certi coefficienti reali β i . Applicando ora una nota proprietà otteniamo:
∣
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
r 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ r 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ r 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ r 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
r 2
r 2 r 2
r 2
.
= β 1 . + β 2 . + ... + β t−1 . .
.
. .
.
β 1 r 1 + β 2 r 2 + ... + β t−1 r t−1 r 1 r 2 r t−1
Per un altro noto teorema, ciascun determinante della somma a destra è nullo,
poiché ciascuna matrice coinvolta ha due righe uguali. Dunque l’esercizio è
concluso.
C12. Determinare il rango delle seguenti matrici, usando tre metodi: determinanti
e teorema degli orlati, ricerca di combinazioni lineari tra righe o tra
colonne, riduzione a scala.
⎛
⎜
⎝
1 −3 0 2
−2 1 2 4
−1 −7 4 14
1 7 −4 −14
⎞
⎛
⎟
⎠ , ⎜
⎝
1 2 1 3 −1
1 3 1 4 −2
1 −4 1 −3 5
⎞
⎟
⎠ .
Soluzione. La riduzione a scala è un metodo veloce per individuare il
rango e anche per rintracciare eventuali righe che siano combinazione lineare
di altre righe. Partiamo dunque dal terzo metodo richiesto. Abbiamo:
⎛
⎜
⎝
1 −3 0 2
−2 1 2 4
−1 −7 4 14
1 7 −4 −14
⎞
⎟
⎠
(r 2 → 2r 1 + r 2 )
(r 3 → r 1 + r 3 )
(r 4 → r 1 − r 4 )
⇒
⎛
⇒ ⎜
⎝
1 −3 0 2
0 −5 2 8
0 −10 4 16
0 −10 4 16
⎞
⎟
⎠
⎛
(r 3 → 2r 2 − r 3 )
(r 4 → 2r 2 − r 4 ) ⇒ ⎜
⎝
1 −3 0 2
0 −5 2 8
0 0 0 0
0 0 0 0
⎞
⎟
⎠ ,
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