ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

CC
CC1. Determinare i valori del numero reale λ per i quali non è possibile
applicare il teorema di Cramer al seguente sistema.
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + λy − z − 1 = 0
2x + λz = 0
3x + y = 1
Discutere il sistema, per ciascun valore trovato. Successivamente, dopo aver
notato che λ = 0 non è uno dei valori ottenuti, risolvere tale sistema ponendo
appunto λ = 0, e utilizzando la regola di Cramer. Descrivere infine il
significato geometrico delle entità rappresentate da ogni singola equazione, e
le loro mutue posizioni.
Soluzione. Dobbiamo trovare i valori eventuali di λ che annullano il
determinante della matrice incompleta del sistema. Sviluppando tale determinante
lungo la seconda colonna abbiamo:
0 =
∣
1 λ −1
2 0 λ
3 1 0
= −2(λ·0−(−1·1))−λ(1·1−λ·3) = −2−λ(1−3λ) = 3λ 2 −λ−2 .
∣
Le radici di questa equazione di secondo grado rispondono alla prima domanda;
esse sono 1 e −2/3.
Se λ = 1, utilizzando ad es. la riduzione a scala, otteniamo due piloni
sia per la matrice incompleta che per la completa, quindi il sistema ammette
∞ 1 soluzioni. Nel secondo caso, invece, compare un terzo pilone nell’ultima
colonna, per cui non abbiamo soluzioni.
Passiamo ora a risolvere il sistema ottenuto rimpiazzando λ con 0. Senza
scriverlo per intero, analizziamo subito la matrice completa (che, come sempre,
include la matrice incompleta A). Essa è
A ′ =
⎛
⎜
⎝
1 0 −1 | 1
2 0 0 | 0
3 1 0 | 1
⎞
⎟
⎠ .
Calcoliamo quindi i valori unici delle tre variabili, che formeranno un’unica
terna (un’unica soluzione). Come ingrediente, notiamo che det(A) = −2.
1 0 −1
1 1 −1
1 0 1
0 0 0
2 0 0
2 0 0
∣ 1 1 0 ∣
∣ 3 1 0 ∣
∣ 3 1 1 ∣
x =
= 0 , y =
= 1 , z =
= −1 .
−2
−2
−2
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