ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

di cardinalità n. Ad es. se n = 12, la stringa 011101010010 corrisponde al
sottoinsieme {2, 5, 7, 9, 10, 11} di {1, 2, 3, ..., 11, 12}.
AA3. Una delle seguenti affermazioni è errata. Discuterne comunque ciascuna.
1) x ∈ X ∧ x ∈ Y ⇒ x ∈ X ∪ Y. 2) x ∉ X ∧ x ∈ Y ⇒ x ∈ X ∪ Y.
3) x ∉ X ∧ x ∈ Y ⇒ x ∈ X ∩ Y.
Soluzione. Nel primo caso x è un elemento dell’unione perché è vero che
esso appartiene ad almeno uno dei due insiemi che la formano. Per lo stesso
motivo, x riesce ancora a soddisfare la tesi nel secondo caso – grazie alla
sua appartenenza a Y . Invece nel terzo caso si richiede che x appartenga ad
entrambi gli insiemi. Dunque la tesi è errata.
AA4. Creare una catena di implicazioni r ⇒ s ⇒ t per dimostrare che se un
nuotatore vince una gara (ipotesi r) allora ottiene una delle tre medaglie per
i primi posti (tesi t). Fare in modo da non rendere invertibile alcuna delle 2
implicazioni.
Soluzione. Dobbiamo riuscire ad “allungare il discorso” inserendo un
evento che però non sia una deduzione banale, né dia luogo a deduzioni
banali (altrimenti una o entrambe le ⇒ si invertirebbero, come ad es. in “A
vince una gara ⇒ A non arriva secondo o dopo il secondo”, oppure in “A
arriva tra i primi tre ⇒ A ottiene una delle tre medaglie per i primi posti”;
tali implicazioni sono invertibili, cioè sono equivalenze). Dobbiamo in effetti
“allargare lo spazio degli eventi”, mediante successive inclusioni proprie, fino
a giungere all’evento dell’assegnazione della medaglia. Spezziamo dunque la
procedura di assegnazione della medaglia nei passaggi: A vince la gara ⇒ A
arriva primo o secondo ⇒ A ottiene una delle tre medaglie. Notiamo infatti
che t non implica s (se vale t allora A potrebbe essere arrivato anche terzo) e
che s non implica r (se vale s, A potrebbe essere arrivato soltanto secondo).
AA5. Sia X = {abitanti dell ′ Italia} e definiamo una relazione ρ su X, così:
xρy ⇔ x parla lo stesso dialetto di y. Dimostrare che ρ è di equivalenza.
Descrivere l’insieme quoziente X/ρ. Dire perché non è possibile definire una
funzione f : X/ρ → {regioni d ′ Italia} mediante f([x]) = regione in cui si
parla il dialetto di x. Definire poi, invece, una qualsiasi funzione g : X/ρ →
{regioni d ′ Italia}.
Soluzione. Senza entrare nei dettagli, ricordiamo che laddove una relazione
sia definita attraverso parole come “lo stesso” o “uguale a”, essa si
comporta come l’uguaglianza “=” e dunque è una relazione di equivalenza.
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