ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

matrice completa diventa 2 (quest’ultimo fatto si può dimostrare calcolando
i 4 determinanti di ordine 3 – non applicando ancora il teorema degli orlati
o la riduzione a scala – oppure notando che le tre righe sono vettori di R 4
lin. dip. poiché ad es. r 1 − 2r 2 + (5/3)r 3 = 0). Dunque per il teorema di
Rouché-Capelli esistono ∞ 1 soluzioni in questo caso, e il sistema ora descrive
tre piani che si intersecano in una retta (piani di un fascio proprio, dunque)
anziché tre piani che si intersecano in un punto. Al variare di k il terzo piano
viene traslato finché, per k = 21/5, esso si posiziona in modo da includere in
sé la retta nata dall’intersezione degli atri due piani fissi.
C7. Utilizzare il metodo di Cramer, e successivamente quello di Gauss, per
risolvere il seguente sistema. Descrivere lo spazio delle soluzioni, verificando
in particolare se si tratta di un sottospazio.
{
a + 2b + 3c − 4d − 5e − 6f = 0
.
a + 2b − 3c − 4d − 5e − 6f = 0
Soluzione. La matrice completa di tale sistema è
(
1 2 3 −4 −5 −6 ‖
)
0
1 2 −3 −4 −5 −6 ‖ 0
.
Un suo minore 2 × 2 con determinante non nullo dovrà necessariamente contenere
la terza colonna. Anzi, scegliendo la terza colonna e un’altra colonna
qualsiasi della matrice incompleta, otteniamo un determinante non nullo.
Possiamo perciò, ad es. , scegliere la prima e terza colonna e “parametrizzare”
le quattro variabili non coinvolte, cioè b, d, e, f. Otteniamo dunque il
nuovo sistema (ora parametrico):
{
a + 3c = −2b + 4d + 5e + 6f
a − 3c = −2b + 4d + 5e + 6f
.
Risolvendolo con l’usuale metodo di Cramer (ci sarebbero certamente metodi
più efficaci, come quello della riduzione a scala, ma anche il metodo di
Cramer... ha il suo fascino) otteniamo le sestuple
(−2b + 4d + 5e + 6f, b, 0, d, e, f) : b, d, e, f ∈ R
che costituiscono in effetti un sottospazio (ce lo dovevamo aspettare, visto
che il sistema era omogeneo). I generatori di tale sottospazio sono, ad es. ,
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