ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

finiti) |f(A)| ≤ |A| ∀f, A (infatti alcune immagini di una data funzione possono
benissimo coincidere) e dall’uguaglianza caratteristica della suriettività,
cioè |f(A)| = |B|, si ha che |B| ≤ |A|. Dunque necessariamente |B| ≤ 12.
Nel secondo caso l’iniettività di g implica che |f(A)| = |A| (notiamo che
questa condizione è anche sufficiente). Dunque, poiché per impedire la suriettività
deve essere |f(A)| < |B|, abbiamo che |A| < |B| e quindi che |B|
deve essere almeno 13.
A15. Dimostrare che la composizione di due funzioni biunivoche è ancora
una funzione biunivoca.
Soluzione. Siano date f : A → B e g : B → C biunivoche, e consideriamo
g ◦ f : A → C. Intanto notiamo che tale composizione è ben definita,
poiché non c’è il rischio che la g “faccia un buco nell’acqua” pescando un
elemento di B non raggiunto da f; in altre parole, la suriettività di f assicura
che l’immagine di f è tutto il dominio B. Ora, mostriamo che g◦f è iniettiva:
se x, y sono elementi distinti in A, allora per l’iniettività di f abbiamo che
f(x) ≠ f(y). A sua volta, l’iniettività di g implica che g(f(x)) ≠ g(f(y)).
Passiamo alla suriettività: preso x ∈ C, per la suriettività di g abbiamo che
∃¯x ∈ B : g(¯x) = x. A sua volta, la suriettività di f implica che ∃ˆx ∈ A :
f(ˆx) = ¯x. Ma allora g(f(ˆx)) = g(¯x) = x. Avendo stabilito sia l’iniettività
che la suriettività della composizione, otteniamo per definizione la biiettività.
A16. Descrivere esempi concreti o astratti che riguardino l’implicazione e la
doppia implicazione (equivalenza).
Soluzione. (Ho l’automobile) ⇒ (pago un’assicurazione). Ma non è vero
il viceversa; infatti se pago un’assicurazione potrebbe essere quella sugli infortuni,
sulla salute, ecc. . Un’altro esempio: (n è un numero primo maggiore
di due) ⇒ (n è dispari), e nemmeno qui vale il viceversa.
Passiamo ora alla doppia implicazione. (Pago un’assicurazione) ⇔ (figuro
nell’elenco dei clienti di qualche compagnia assicurativa). Tale esempio
è assai elementare, mentre il prossimo potrebbe essere considerato un vero
e proprio teorema, perché afferma qualcosa di interessante (molti teoremi
si enunciano usando appunto ⇔, e sono interessanti perché collegano due
“mondi lontani”): (Un sistema S di tre equazioni lineari in tre incognite ha
almeno due triple di soluzioni) ⇔ (S ha infinite triple di soluzioni). Infatti
è chiaro che le due frasi sono collegate da ⇐ (la seconda frase implica banalmente
la prima), ma non è affatto ovvio che valga ⇒, cioè che un tale
sistema che ammetta almeno 2 soluzioni ne ammette, sicuramente, ad es. 53
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