ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

Possiamo però “distillare” un sottospazio da tale insieme, scrivendo i suoi
elementi così:
(
− 11
)
2 , −11 2 , −3 2 , 0 , 0 + ( −s − t , 0 , 0 , s , t ) .
Si tratta dunque di un “piano” in R 5 ottenuto da un sottospazio 2-dimensionale
(a destra) la cui origine (0) è stata traslata e collocata sul punto a
sinistra, “portando con sé” tutto il piano che prima passava per 0. Il sottospazio
corrisponde al sistema omogeneo associato al nostro sistema, cioè lo
stesso sistema ma con i termini noti nulli. Tale sottospazio è la “giacitura”
del nostro piano, cioè contiene precisamente l’informazione della “pendenza”,
e passa per l’origine. Per ottenere il “vero” piano bisogna traslare opportunamente
la giacitura, facendola passare per un qualsiasi punto del “vero”
piano.
Si possono analogamente considerare come parametri le coppie (x 1 , x 4 ) e
(x 1 , x 5 ), ottenendo soluzioni apparentemente diverse da quelle trovate sopra,
ma a ben vedere (...) coincidenti.
B13. Dimostrare che
S = {(x, y, z, w) ∈ R 4 : 2x − y − z = 0 ∧ 2x − z − 2w = 0 ∧ y − 2w = 0}
è un sottospazio (di R 4 ) e trovarne due basi. Dimostrare poi che
T = {(x, y, z, w) ∈ R 4 : 2x − y − z = 0 ∧ 2x − z − 2w = 0 ∧ y − w = 0}
è un altro sottospazio e trovarne una base.
Soluzione. Le tre condizioni in congiunzione logica, riguardanti S, costituiscono
un sistema omogeneo lineare, da cui segue immediatamente che
S è un sottospazio. Per trovarne una base, scriviamo il sottospazio in forma
esplicita risolvendo il relativo sistema. [Condizione 3] ⇒ y = 2w e ora [Condizione
1] ⇒ z = 2x − 2w. Notiamo che la seconda condizione diviene superflua.
La quadrupla generica di S è dunque (x, 2w, 2x − 2w, w) con x, w ∈ R.
Due generatori di S sono (sostituendo 1 e 0 alternativamente in x e w) i
vettori (1, 0, 2, 0) e (0, 2, −2, 1). Essi sono lin. indip. – poiché risultano non
proporzionali – e quindi formano una base di S.
Potremmo benissimo dire che un’altra base è la stessa di prima ma con
i vettori scambiati (infatti l’ordine conta – si pensi alle coordinate di un
vettore generico, che infatti vengono scambiate). Potremmo anche sforzarci
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