ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

da cui deduciamo che il rango vale 2 e che ciascuna delle ultime due righe si
può ottenere come combinazione lineare delle prime due. Passiamo perciò al
secondo metodo. Lo 0 nella prima riga ci aiuta a capire che r 3 = 2r 2 + 3r 1 ,
mentre r 4 = −r 3 e quindi possiamo usare la medesima combinazione lineare
ma con i segni cambiati. Infine, ora che conosciamo il rango e sappiamo che
le prime due righe non sono proporzionali, consideriamo il minore 2 × 2 in
alto a sinistra e orliamolo nei 4 modi possibili, scegliendo una riga tra la
terza e la quarta, e una colonna sempre tra la terza e la quarta. Otteniamo
4 determinanti uguali a zero, per cui siamo certi che il rango vale 2.
Un’osservazione: se non avessimo conosciuto il rango, avremmo fatto bene
a usare il metodo degli orlati nel medesimo modo, cioè partendo da un minore
2×2 e orlandolo. Se in uno dei 4 tentativi avessimo ottenuto un determinante
non nullo, pazienza: avremmo poi calcolato il “mega-determinante” 4 × 4,
per decidere se rango=3 o rango=4.
C13. Utilizzare il metodo di Gauss, cioè la riduzione a scala, per affrontare
il seguente sistema descritto succintamente con la notazione matriciale.
⎛ ⎞
x 1
( )
x 1 1 −1 1 −1
2
( )
1 1 −1 1 −2
x 3
1 = .
⎜ ⎟ 1
⎝ x 4 ⎠
x 5
Soluzione. Si ha:
(
1 1 −1 1 −1 | 1
1 1 −1 1 −2 | 1
)
(r 2 → r 2 − r 1 ) ⇒
(
1 1 −1 1 −1 | 1
0 0 0 0 −1 | 0
)
.
Ne segue che i ranghi delle matrici incompleta e completa valgono entrambi
2 (si formano infatti due piloni in ciascuna matrice). Avremo dunque ∞ 3
soluzioni che calcoliamo parametrizzando le variabili non relative ai piloni,
cioè x 2 , x 3 , x 4 . Il nuovo sistema, equivalente a quello iniziale, è
{
x1 − x 5 = 1 − ξ 2 + ξ 3 − ξ 4
.
−x 5 = 0
La sua soluzione generale, calcolata a ritroso partendo dall’ultima equazione,
è (1 − ξ 2 + ξ 3 − ξ 4 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 , 0), con ξ i ∈ R ∀i.
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