ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

un minimo di più e dire che un’altra base si ottiene modificando di due
fattori qualsiasi (non 0) i due generatori. Oppure, agendo nel modo più
generale possibile, potremmo prelevare dalle ∞ 2 quadruple (x, 2w, 2x−2w, w)
del sottospazio due altri vettori che però non siano proporzionali (dunque
dovremmo sostituire a x e w valori diversi da 0 e 1, verificando poi la non
proporzionalità). Ad es. ponendo x = 2, w = 1 e poi x = 1, w = −1 otteniamo
(2, 2, 2, 1) e (1, −2, 4, −1) che non sono proporzionali e dunque formano
una nuova base di S.
Per quanto riguarda T , la piccola modifica nella terza condizione provoca
un “cataclisma” a livello di dimensione. Questa passa infatti da 2 a 1, quindi
il sottospazio da “piatto” diventa “filiforme” (si avrà, come vedremo, un solo
generatore), all’interno di uno spazio ambiente 4-dimensionale. Più in dettaglio,
nel relativo sistema ora non abbiamo condizioni superflue, e (dopo alcuni
calcoli) troviamo quadruple del tipo (x, 0, 2x, 0) con x ∈ R. Sostituendo
1 alla x troviamo il generatore (1, 0, 2, 0) che determina la direzione lungo
la quale “vive” il sottospazio. Tale generatore è ovviamente, da solo, anche
base.
BB
BB1. Dimostrare che “due vettori di un qualsiasi sottospazio di R n sono
proporzionali” ⇔ “essi sono linearmente dipendenti”. Se i vettori sono tre,
vale ⇒ oppure ⇐?
Soluzione. Siano u, v i due vettori in questione. Se essi sono proporzionali
allora o u = hv ∃h ∈ R oppure v = hu ∃h ∈ R (spesso valgono entrambe
le proprietà, ma non nel caso speciale in cui u = 0 o (esclusivo) v = 0, dove
h = 0 e vale solo una delle due proprietà; ma la proporzionalità resta!). Per
semplicità supponiamo che valga la prima uguaglianza. Allora 1 · u − hv = 0
e dunque abbiamo trovato una combinazione lineare non banale che genera
0 (anche nel caso particolare in cui h = 0). Viceversa, se u, v sono lin. dip.
allora ∃α, β ∈ R: (α, β) ≠ (0, 0) ∧ αu + βv = 0. Supponendo ora che α ≠ 0,
si ha proporzionalità perché u = −(β/α)v. Se invece α = 0, siamo certi che
β ≠ 0 e possiamo ragionare in modo simile.
Presi ora tre vettori proporzionali u, h 1 u, h 2 u, con un ragionamento analogo
a quello di prima è facile mostrare che sussiste la dipendenza lineare,
dunque vale l’implicazione ⇒. Invece il viceversa è smentito da esempi elementari
come quello di due vettori linearmente indipendenti, w 1 , w 2 insieme
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