ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

(−2, 1, 0, 0, 0, 0), (4, 0, 0, 1, 0, 0), (5, 0, 0, 0, 1, 0), (6, 0, 0, 0, 0, 1) (abbiamo applicato
il consueto metodo degli 0 e dell’1) e si ha che b(−2, 1, 0, 0, 0, 0) +
d(4, 0, 0, 1, 0, 0)+e(5, 0, 0, 0, 1, 0)+f(6, 0, 0, 0, 0, 1) è proprio uguale alla generica
sestupla descritta sopra (dunque siamo in presenza di un sottospazio –
comunque era già sufficiente rendersi conto che il sistema è omogeneo). Ora
non è difficile verificare, attraverso un sistema, che tali generatori sono lin.
indip. e dunque costituiscono una base. Più velocemente, potremmo verificare
che il rango della matrice 4×6, che li ha per righe, vale 4 (si considerino
ad es. le colonne 2,4,5,6). La dimensione di tale sottospazio è perciò uguale
a 4.
C8. Utilizzare il metodo di Cramer, e poi invece la riduzione a scala, per
risolvere il seguente sistema descritto succintamente con la notazione matriciale.
⎛
⎜
⎝
1 0 1 0
2 1 0 2
1 −1 −1 0
0 0 1 −1
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ ⎝
x
y
z
w
⎞ ⎛
⎟
⎠ = ⎜
⎝
2
0
2
1
⎞
⎟
⎠ .
Soluzione. Il metodo di Cramer, piuttosto lungo, è comunque applicabile
poiché il determinante non è nullo. Calcoliamo soltanto il valore della x, lasciando
il resto al lettore. Sostituendo la colonna dei coefficienti al posto della
prima colonna, e sviluppando i due determinanti lungo la seconda colonna
(contiene infatti due zeri) si ha dunque:
x =
∣
∣
2 0 1 0
0 1 0 2
2 −1 −1 0
1 0 1 −1
1 0 1 0
2 1 0 2
1 −1 −1 0
0 0 1 −1
∣
∣
=
∣
∣
2 1 0
2 −1 0
1 1 −1
1 1 0
1 −1 0
0 1 −1
+
∣ ∣
+
∣ ∣
2 1 0
0 0 2
1 1 −1
1 1 0
2 0 2
0 1 −1
∣
= 2 2 = 1 .
∣
La soluzione completa è (1, −2, 1, 0).
La riduzione a scala è molto più rapida e trasforma la matrice incompleta
in una triangolare superiore con tutti numeri non nulli sulla diagonale
(dunque abbiamo 4 piloni e cioè rango 4, il massimo; otterremo infatti una
sola soluzione, dato che ∞ 4−4 = ∞ 0 ). Non dobbiamo creare parametri, e il
classico procedimento a ritroso permette poi di calcolare w, z, y, x.
36