ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

perché h e k sono liberi di variare e, ad es. possono generare 8,9,10..., cioè non
necessariamente 4. Dunque non si tratta di un sottospazio. Ragionando in un
altro modo, possiamo cercare un semplice “neo”, un qualcosa che pregiudichi
l’essere sottospazio. Ad es. ci accorgiamo che non è possibile ottenere (0, 0).
Infatti la seconda componente è sempre maggiore (di 4) della prima. Abbiamo
fra l’altro scoperto, così, che il sistema associato non è omogeneo,
infatti esso è
{x − y + 4 = 0 .
Questa è un’ulteriore conferma che S ′ non è un sottospazio.
Il terzo caso sembra molto simile al primo, eppure le cose cambiano
sostanzialmente. Ora intanto il test “rifunziona”. Infatti si ha che h(a +
2b, 2a + 5b) + k(a ′ + 2b ′ , 2a ′ + 5b ′ ) = (ha + 2hb + ka ′ + 2kb ′ , 2ha + 5hb + 2ka ′ +
5kb ′ ) = ((ha + ka ′ ) + 2(hb + kb ′ ), 2(ha + ka ′ ) + 5(hb + kb ′ )) ∈ S ′′ . Ne segue
che S ′′ è un sottospazio. Se però cerchiamo un sistema omogeneo associato
(deve esistere, dato che abbiamo dimostrato che S ′′ è un sottospazio) esso
non appare immediato da scrivere. Ponendo allora x = a + 2b, y = 2a + 5b
ci accorgiamo che non è possibile trovare relazioni fra x e y. Infatti si ha
ad es. che y = 2(x − 2b) + 5b = 2x + b, dunque non otteniamo una legge
“fissa” poiché c’è b che “dà fastidio”. Siamo in presenza di un sottospazio
uguale allo spazio stesso, R 2 . Per vederlo, calcoliamo una base col solito
metodo, ponendo cioè prima a = 1, b = 0 e poi a = 0, b = 1. Otteniamo
i due vettori linearmente indipendenti (1, 2), (2, 5). Essi sono la prova che
S ′′ ha dimensione 2, cioè necessita di non meno di 2 generatori (ovviamente
possiamo aggiungerne altri, inutili – basterà annullarli mediante il fattore 0
nella combinazione lineare – ma 2 resta il minimo) e dunque S ′′ coincide con
lo spazio “ambiente” 2-dimensionale (vedere anche l’es. B9). A questo punto
ci “salviamo” dicendo (nulla di errato, sia ben chiaro) che il sistema associato
a S ′′ esiste comunque, ed è quello formato dall’equazione 0=0 (ma anche, ad
es. , dalle 2 equazioni indeterminate “5x − 5x = 0” e “y + 2x = y + 2x” o solo
da una di esse). Osserviamo infine che per dimostrare che S ′′ è un sottospazio
potevamo semplicemente notare che a(1, 2)+b(2, 5) = (a+2b, 2a+5b), anziché
eseguire il test di chiusura.
B9. Dimostrare che se S è un sottospazio di R n tale che dim(S) = n, allora
S = R n .
Soluzione. Sia {b 1 , ..., b n } una base di S. Supponiamo per assurdo che
R n \S ≠ ∅ e sia quindi m un vettore appartenente a tale differenza di insiemi
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