ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

valenza di 0, cioè [0], consiste di un solo elemento (ovviamente lo 0 stesso),
mentre tutte le altre consistono di due elementi (ad es. [π] = {π, −π} ).
r 2 equivale invece all’uguaglianza vera e propria tra numeri reali (si noti
che ciò non sarebbe più vero nell’insieme C dei numeri complessi). L’insieme
quoziente di r 2 è perciò, banalmente, R stesso, poiché ogni classe ha un solo
elemento.
Se x r 3 y allora o x = 0 oppure x = y (ciò si vede facilmente scrivendo
x 2 − xy come x(x − y) ). Mentre sarebbe facile dimostrare la riflessività e
la transitività di r 3 (per quest’ultima occorrerebbe un’analisi per casi, come
nell’es. A11), soffermiamoci invece sulla mancanza di simmetria. Essa è
infatti causata da coppie in relazione come ad es. (0, 2) (precisamente, da
tutte e sole le coppie (0, y) con y ≠ 0). In effetti si ha antisimmetria, e
dunque r 3 è una relazione d’ordine. Il relativo diagramma di Hasse consiste
di un punto (lo 0) situato in basso e collegato con infiniti “raggi” a tutti gli
altri numeri reali posti al livello superiore.
L’ultima relazione non è riflessiva (ad es. 2 2 − 2 ≠ 0, perciò 2 ̸ r 4 2), non è
simmetrica (ad es. 3 r 4 9 ̸ r 4 3) e nemmeno transitiva (3 r 4 9 r 4 81 ma 3 ̸ r 4 81).
Infine, se le coppie in relazione r 1 , ..., r 4 vengono visualizzate sul piano
cartesiano, esse formano rispettivamente le rette bisettrici del I,III quadrante
e del II,IV q. , la bisettrice del I e III q. , due rette (l’asse y unita alla bisettrice
del I e III q.), e una parabola. Nel caso di r 1 , il rispettivo insieme quoziente
ha una rappresentazione naturale come semiretta, più precisamente come la
semiretta non negativa reale; infatti lo 0 fa da “perno” e la retta reale si
piega su se stessa facendo coincidere i punti di segno opposto).
A20. Determinare sia il dominio che la controimmagine f −1 (−1) per le
seguenti funzioni reali f(x):
x 2 , x 3 , x 4 , x , log 10 x , e x , cos x , sin x , tg x , −x 6 , −x 7 , 1 , −1 , x|x| −1 .
Soluzione. Il dominio si restringe nel caso del logaritmo (solo numeri
positivi) e nel caso – l’ultimo – del valore assoluto al denominatore (si esclude
infatti lo 0). Le rispettive controimmagini sono (ricordiamo che, a rigore,
dovremmo usare le parentesi graffe per indicare gli insiemi, anche nel caso
di un singolo elemento nella controimmagine; ma in genere tale prassi può
essere evitata, senza che ciò si consideri un errore):
∅ , −1 , ∅ , −1 , 1/10 , ∅ , (2k + 1)π: k ∈ Z , (2k − 1/2)π: k ∈ Z ,
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