ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

matrice diagonale che reca i rispettivi prodotti. Le tre matrici inverse sono:
(
1
2
3
0 − 1 3
)
,
⎛
⎜
⎝
− 4 7
1
1
7
11
7
7
− 2 7
− 1 7
3
7
1
7
− 3 7
⎞
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0
0 − 1 3
0 0
0 0
1
5
0
0 0 0
1
1000
⎞
⎟
⎠
CC8. Calcolare equazioni cartesiane della retta passante per (8, 0, 6) e (1, −1, 6).
Soluzione. La matrice da cui “preleveremo” due minori opportuni è
(
x − 8 y − 0 z − 6
8 − 1 0 − (−1) 6 − 6
)
=
(
x − 8 y z − 6
7 1 0
Poiché la seconda riga contiene uno zero, due dei tre minori daranno luogo
a formule proporzionali, quindi non possiamo sceglierli simultaneamente.
Consideriamo perciò, ad es. , i due minori laterali. Otteniamo il sistema
x−8−7y = 0 ∧ −(z−6) = 0, cioè la retta di equazioni x−7y−8 = 0 = z−6.
CC9. Dire se un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite può essere
interpretato come l’intersezione di: tre rette; tre piani; due piani e una
retta; una retta e un piano. Un sistema di quattro equazioni in tre incognite
rappresenta l’intersezione di quattro rette?
Soluzione. Una sola equazione rappresenta un piano, due equazioni una
retta (purché i due relativi piani non siano paralleli o coincidenti, cioè le due
equazioni senza termini noti non siano proporzionali). Dunque nel primo
caso abbiamo tre piani, oppure abbiamo una retta e un piano (purché il
rango della matrice incompleta sia, appunto, almeno 2). Nel secondo caso le
rette in questione sono due, non quattro (oppure abbiamo quattro piani, o
infine una retta e due piani).
)
.
D - Esercizi con dimostrazione
D1. Dimostrare che, fissato un intero positivo n, l’insieme delle combinazioni
lineari di un dato insieme non vuoto S ⊆ R n è un sottospazio.
Soluzione. Siano a 1 v 1 + a 2 v 2 + ... + a g v g e b 1 w 1 + b 2 w 2 + ... + b h w h
due elementi di 〈S〉, cioè due combinazioni lineari ottenute con vettori {v i },
{w j } di S. Allora, ovviamente, la somma di questi due elementi è ancora
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