ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

tetto inclinato, con traccia di equazione z = −y − 1/7 sul piano (y, z), infine
(8) è un’altra parete e (9) un tetto orizzontale.
C4. Utilizzando il metodo di Cramer – dunque considerando due variabili
opportune come parametri – risolvere il seguente sistema omogemeo:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 0
x 1 − x 2 + x 3 − x 4 + x 5 = 0
x 5 = 0
(x i ∈ R ∀i) .
Esplicitare poi una base del sottospazio delle soluzioni. Infine risolvere lo
stesso sistema col metodo di Gauss.
Soluzione. Una volta scritta la matrice associata al sistema, cioè
⎛
⎜
⎝
1 1 1 1 1 | 0
1 −1 1 −1 1 | 0
0 0 0 0 1 | 0
⎞
⎟
⎠ ,
notiamo che il minore 3 × 3 formato dalla terza, quarta e quinta colonna ha
determinante non nullo. Dunque possiamo parametrizzare le variabili relative
alle prime due colonne, e utilizzare il metodo di Cramer. Abbiamo dunque
il nuovo sistema: ⎧
⎪⎨ x 3 + x 4 + x 5 = −x 1 − x 2
x
⎪ 3 − x 4 + x 5 = −x 1 + x 2 .
⎩
x 5 = 0
(avremmo potuto scegliere anche altre tre colonne; ad es. la prima, la seconda
e la quinta, quest’ultima necessaria in ogni caso) Abbiamo che
x 3 =
∣
−x 1 − x 2 1 1
−x 1 + x 2 −1 1
0 0 1
−2
∣
∣
= −x 1 , x 4 =
1 −x 1 − x 2 1
1 −x 1 + x 2 −1
0 0 1
−2
∣
= −x 2 ,
e anziché calcolare anche x 5 notiamo che essa è uguale a zero già nel sistema
iniziale (in effetti il corrispondente numeratore viene nullo perché è
il determinante di una matrice con una riga nulla). La soluzione è perciò
(x 1 , −x 1 , x 2 , −x 2 , 0) con x 1 , x 2 ∈ R.
Un noto teorema assicura che l’insieme delle soluzioni di un dato sistema
omogeneo (come questo) è un sottospazio. Nel nostro caso, sostituendo
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