ESERCIZI DI AVVIAMENTO - Sezione di Matematica

se in verità non così complesso). La matematica è spesso così, ma anche... la
vita quotidiana: ad es. se tutto è in regola la macchina parte, ma basta che
si stacchi un filo perché essa ci “lasci a piedi”.
B2. Nel primo caso dell’es. B1 trovare un insieme di generatori del sottospazio.
Trovare poi un insieme di due generatori per R 2 e mostrare che in
generale non si può ridurre il numero di tali generatori. Verificare che i due
generatori trovati sono linearmente indipendenti. Mostrare infine che due
vettori lin. dipendenti non possono generare R 2 .
Soluzione. A livello intuitivo, poiché tale sottospazio dipende solo da
una variabile, esso non ha “molta libertà di espressione”, e quindi basteranno
pochi vettori per generarlo tramite combinazioni lineari. Specializzando ad
es. la x con il valore 1, si ottiene (1,0) e si riesce conseguentemente ad e-
sprimere ogni (x, 0) come x(1, 0). Dunque (1,0) è, da solo, un generatore
(infatti mediante le possibili combinazioni lineari, che sono semplicemente
quelle del tipo x(1, 0), si ottiene tutto il sottospazio 〈(1, 0)〉 ).
Un tipico esempio di generatori per R 2 è {(1, 0), (0, 1)}. Infatti un vettore
qualsiasi, (a, b), si può esprimere come a(1, 0) + b(0, 1) (l’elementarità di tali
generatori ci consente, immediatamente, di trovare la combinazione lineare
adatta). È invece impossibile trovare un unico generatore per R2 . Infatti, se
ci fossimo riusciti usando un certo (u, v), non saremmo paradossalmente in
grado di generare ad es. (u, v + 1).
Torniamo ora sui due generatori di prima. Essi sono linearmente indipendenti
perché se α(1, 0) + β(0, 1) = (0, 0) allora (α, β) = (0, 0) e dunque
α = β = 0. Per quanto riguarda l’ultima domanda, due vettori (a, b), (c, d)
linearmente dipendenti sono, equivalentemente, proporzionali (infatti abbiamo
che h(a, b) + k(c, d) = 0 con h, k non entrambi nulli; perciò se h ≠ 0
si ha che (a, b) = (k/h)(c, d), mentre se h = 0 sicuramente k ≠ 0 e dunque
(c, d) = (h/k)(a, b) ). Ora due vettori proporzionali non hanno la forza di
generare tutto R 2 , perché i loro lavori si “intralciano” e si “sovrappongono”.
In termini formali, se supponiamo ad es. k ≠ 0 e quindi (c, d) = t(a, b),
tutti i vettori generabili sono del tipo α(a, b) + β(c, d) = α(a, b) + βt(a, b) =
(α + βt)(a, b) e cioè tutti e soli i vettori proporzionali ad (a, b).
B3. Mostrare che {(x, y, z) ∈ R 3 : x = z} è un sottospazio (di R 3 ). Trovarne
due generatori e mostrare che non si può trovare un solo generatore.
Soluzione. Anziché fare le verifiche di routine, potremmo brevemente
dire che un tale sottoinsieme è definito da un certo numero (uno, in questo
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