Tópicos de Geometria - CMUP

11. Dados dois triângulos congruentes, ∆ABC » = ∆DEF, comA =(0, 0), B =(5, 0),
C =(0, 10), D =(4, 2), E =(1, ¡2), F =(12, ¡4), determine equações de rectas
taisqueoprodutodereflexões nessas rectas envie ∆ABC em ∆DEF.
12. Suponha que as rectas l, m, n têm, respectivamente, equações x =2,y =3,ey =5.
DetermineasequaçõesparaR m R l eparaR n R m .
13. Prove que se P éumpontoel e m são rectas, então existem rectas p e q tais que
P está em p e R m R l = R q R p .
14. Dadas rectas não paralelas ¡! ¡!
³ AB , CD , mostre que existe uma rotação ρ tal que
¡!
ρ AB´
= ¡! CD (Note que há orientações fixadas nas rectas). O que pode dizer
no caso de serem paralelas?
15. Diga, justificando, se são ou não verdadeiras as seguintes afirmações:
(a) Toda a translação é um produto de duas rotações não involutivas.
(b) Se P 6= Q então existe uma única translação que envia P em Q mas existe um
número infinito de rotações que enviam P em Q.
16. Se l, m, n são os bissectores ortogonais (mediatrizes) dos lados AB, BC, CA, respectivamente,
do ∆ABC, entãoR n R m R l éumareflexão em qual recta?
17. Quais são as rectas que são invariantes por uma rotação R(c, θ)?
18. Se R l R m R n éumareflexão, mostre que as rectas n, m, l ou são concorrentes ou são
paralelas.
19. Mostre que R n R m R l = R l R m R n se as rectas l, m, n são concorrentes ou têm uma
perpendicular comum.
20. Mostre que o produto das reflexões nas três bissectrizes de um triângulo é uma
reflexão numa recta perpendicular a um lado do triângulo.
21. Se R n R m (x, y) =(x +6,y¡ 3), determine equações para rectas m e n.
22. Se l e m são duas rectas distintas e concorrentes, determine o lugar geométrico dos
pontos P tais que R(P, θ)(l) =m para algum θ.
23. Prove o seguinte Teorema de Adição de Ângulos para Rotações:
(a) Uma rotação de ângulo Θ seguida de uma rotação de ângulo Φ éumarotação
de ângulo Θ + Φ excepto se Θ + Φ =0,caso em que se obtem uma translação.
(b) Prove o resultado análogo ao de a. para os casos de uma rotação seguida de
translação e de uma translação seguida de rotação.
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