Tópicos de Geometria - CMUP

2
3
1
5
4
4
3
P=3
2
5
2
1
Pretendemos numerar todos os 20 vértices com os números 1, 2, 3, 4, 5 de tal forma que em
cada face não haja repetições. Os vértices distribuem-se por quatro níveis (quatro planos
horizontais); começamos por numerar ciclicamente os vértices do nível superior, a face do
topo, de 1 a 5; consideramos o nível seguinte: o vértice P ,nafigura, poderá ser numerado
com 2 ou 3; escolhendo um dos números (na figura o 3),numeramos os restantes vértices
do mesmo nível ciclicamente como fizemos para os do topo; é agora fácil verificar que
só há uma maneira de numerar os restantes vértices, do terceiro nível e da face da base,
de forma a que não haja repetições em nenhuma face e que em cada um desses níveis a
numeração é também cíclica.
Exercício 102 Verifique, num modelo, a numeração que acabámos de
descrever.
Verifique que os quatro vértices com o mesmo número formam os vértices de um
tetraedro; temos assim 5 tetraedros: como no exercício anterior são obtidos de um deles
por rotações sucessivas de 2π/5 emtornodoeixoperpendicularaocentrodeumafacenote
que se for o eixo vertical, perpendicular às duas faces horizontais, isso é claro já que
em cada nível a numeração é cíclica. Verifiqueaindaquesecolocaroutraqualquerface
horizontal a numeração em cada um dos quatro níveis é cíclica na mesma ordem.
Relativamente ao exercício anterior, recorde que há outro sistema de 5 tetraedros
inscritos no dodecaedro: esses apareceriam associados à outra escolha para a numeração
do vértice P .
Exercício 103 Colore, num modelo, as faces do icosaedro com cinco cores distintas, de
forma correspondente à numeração do dodecaedro dual.
8.3 Os grupos de simetria dos sólidos platónicos
Seja P um dos sólidos platónicos; S(P ) é o grupo das simetrias de P edesignamospor
S d (P ) o subgrupo das simetrias directas. Como as simetrias de P permutam os seus
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V=4