Tópicos de Geometria - CMUP

Convenção gráfica: como se percebe olhando para a figura anterior, as figuras de
prismas ou anti-prismas com telhados adicionados são complicadas e difíceis de realizar;
por isso, é conveniente introduzir uma convenção gráfica, representando-os por figuras
mais simples, que não são poliedros, mas que têm os mesmos grupos de simetria: o que
fazemos, seguindo [4, §17.2], é subtituir os prismas e anti- prismas pelos cilindros que os
circunscrevem, mantendo os vértices assinalados como nódulos, e simular os telhados pela
indicação de uma orientação dos arcos entre os vértices (ver figura seguinte).
Entende-se que as simetrias destas figuras permutam os vértices e preservam as orientações
dos arcos: a flecha de um arco orientado deve ser enviada para a flecha de outro arco
orientado!
A figura representa um prisma e um anti-prisma triangulares, na parte superior, e um
prisma e um anti-prisma quadrangulares na parte inferior; o prisma triangular tem um
telhado no topo e portanto tem grupo de simetria C 3 ; o prisma quadrangular tem dois
telhados que permutam por acção do meio-giro em torno do eixo dos xx e por isso tem
grupo de simetria D 4 .
8.2 Os sólidos Platónicos
Para além dos grupos cíclicos e diedrais,devemos também estudar os grupos de simetria
dos poliedros que correspondem, no espaço, aos polígonos regulares do plano: são os
poliedros regulares.
Recorde-se que um subconjunto X ½ R n diz-se convexo se para quaisquer dois dos
seus pontos, x, y 2 X, contém o segmento por eles definido: para todo t, 0 ∙ t ∙ 1, o
ponto tx +(1¡ t)y pertence a X.
Um subconjunto compacto (fechado e limitado) de R n definido por um número finito
de desigualdades lineares é claramente convexo e, se tem interior não vazio, diz-se um
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