Tópicos de Geometria - CMUP

Significa isto que podemos construir o dodecaedro colando a cada face do cubo uma
destas tendas; temos assim um cubo de aresta com comprimento g, inscrito num dodecaedro
de aresta com comprimento 1 de tal forma que cada uma das 8 arestas do cubo é
diagonal de uma das 8 faces do dodecaedro; é claro que se fizermos a construção anterior
começando o processo com cada uma das cinco diagonais de uma das faces do dodecaedro
(o sombreado na figura anterior...) obtemos 5 cubos distintos inscritos no dodecaedro; os
cincocubossãoobtidosapartirdeumdeles,C, por rotações sucessivas ρ, ρ 2 ,ρ 3 ,ρ 4 em
que ρ = R(l, 2π/5) e l éumeixoperpendicularaocentrodaface. SejaT um tetraedro
inscrito em C (comojávimoshádois)
Exercício 101 Verifique, comummodelo, que as imagens dos quatro vértices de T pelos
elementos do grupo hρi são todas distintas; obtemos assim os 5 £ 4=20vértices do
dodecaedro.
Nota: no caso do cubo obtido de um tetraedro inscrito acrescentando quatro pirâmides
triângulares, como qualquer isometria do triângulo base de uma pirâmide se estende a uma
isometria da pirâmide, toda a isometria do tetraedro é uma isometria do cubo circunscrito;
no caso do dodecaedro obtido do cubo acrescentando tendas, não é verdade que qualquer
isometria do quadrado base de uma tenda se estenda a uma isometria da tenda: isto
acontece porque a aresta do topo tem uma determinada direcção; assim, as rotações de
π/2 em torno de eixos perpendiculares aos centros de faces do cubo (temos 3 desses eixos)
são claramente simetrias do cubo que não são simetrias do dodecaedro - tenha em atenção
que em [4, §17.1] há afirmações erradas sobre isto!
Apesardanotaanterior,os5 cubos inscritos num dodecaedro estão directamente
relacionados com uma forma de numerar os seus 20 vértices que é especialmente útil na
análise do grupode simetria.
Considere um dodecaedro, representado com uma (portanto duas) face horizontal como
na figura seguinte
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