Tópicos de Geometria - CMUP

D n ,mostraqueD 3 é naturalmente isomorfo ao grupo das permutações dos vértices do
triângulo que é o grupo simétrico S 3 . O grupo D 4 , também chamado grupo óctico éum
dostrêsgrupos(amenosdeisomorfismo...) não abelianos com oito elementos. D 5 éúnico
(amenosdeisomorfismo...) grupo não abeliano de ordem 10.
Exercício 66 Descreva os elementos de D 3 , D 4 e D 5 ,emtermosdereflexões e rotações
de I(R 2 ) e exprima-os como produtos dos dois geradores, ρ e σ. Identifique em D 3 ' S 3
o (sub)grupo alterno, A 3 .Determineoscentrosdestesgruposdiedrais.
5.2 Grupos finitosdeisometriasdoplano
O que é interessante é que os dois tipos de grupos de simetria dos polígonos esgotam os
possíveis tipos de subgrupos finitos de I(R 2 ). É isso que afirma o teorema de Leonardo
(da Vinci: ver [4, §8.2]):
Teorema 67 (Leonardo) Todo o subgrupo finito de I(R 2 ) é cíclico ou diedral.
Prova. Seja G ∙ I(R 2 ), finito e seja a 2 R 2 , arbitrário. A órbita de a, Orb(a) =
Ga = fga : g 2 Gg, é finito, digamos com n elementos; seja c = P 1
g∈G
ga ocentroide
dos n pontos da órbita. Dado g 2 G, arbitrário,comog sendo isometria é apli-
n
cação afim, respeita a combinação linear anterior; mas como, por definição de órbita,
g(Orb(a)) = Orb(a), temosqueg(c) =c, istoé,c é fixado por todas as isometrias de G.
Da classificação das isometrias sabemos que se g(c) =c, entãog éumarotaçãoemtorno
de c ou uma reflexão numa recta por c. O subgrupo de G das isometrias directas, G d ,
consiste então num número finito de rotações de centro c. ÉfácilprovarqueG d écíclico,
gerado pela rotação ρ de menor ângulo: G d = hρi = fρ, ρ 2 , ..., ρ n =1g. SeG = G d ' C n
então G é cíclico; caso contrário contém m reflexõesemrectasporc; sejaσ uma dessas
reflexões: é fácil ver que n = m e portanto que ρ e σ geram G, istoé,G ' D n .
Exercício 68 Complete os detalhes da prova anterior, mostrando que G d écíclicoejustificandoaúltimaafirmação.
O exercício seguinte dá um argumento alternativo ao do centroide da prova anterior,
paraaexistênciadopontofixo c.
Exercício 69 Seja G ∙ I(R 2 ). Mostre que G éinfinito se contém uma rotação (não
trivial) em torno de um ponto a eumareflexão R l tal que a/2 l. Mostre então que G é
infinito se contém reflexõesemtrêsrectasnãoconcorrentes. ConcluaqueseG é finito,
então existe um ponto fixo por todas as isometrias de G.
5.2.1 Exercícios de revisão e aplicação...
1. Diga se as seguintes afirmações sobre subgrupos de I(R 2 ) são ou não verdadeiras:
(a) Um grupo que de isometrias com ordem 35 tem de ser cíclico.
(b) Todo o grupo de isometrias finito é grupo de simetria de algum polígono.
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