Tópicos de Geometria - CMUP

Exercício 41 Verifique os detalhes desta prova.
A segunda prova que vamos dar é menos geral, feita apenas em dimensão 2, mas é
mais geométrica e mais rica pois traz, e usa, informação adicional sobre as transformações
do plano chamadas dilatações.
Definição 42 Uma aplicação α : R 2 ¡! R 2 diz-se uma dilatação seébijectivaepara
toda a recta l/
a sua imagem por α é uma recta paralela: l k α(l).
Como veremos as dilatações formam um subgrupo Dil(R 2 )=D(R 2 ) ∙ S(R 2 ).Éclaro
que as homotetias D(C, k) são dilatações: as rectas por C são enviadas nelas próprias;
para as que não passam por C, e baseando-nos na figura seguinte:
P'
P
Q
Q'
C
R
Sendo P 0 = α(P ) e Q 0 = α(Q), temos, designando por XY o comprimento do segmento
XY ,que
CP 0 = kCP , CQ 0 = kCQ , P 0 Q 0 = kPQ
portanto temos semelhança dos triângulos, ∆CPQ » ∆CP 0 Q 0 ,logo]CPQ = ]CP 0 Q 0 e
então as duas rectas Ã! PQ , á! P 0 Q 0 são paralelas, fazendo, com a recta Ã! CQ ângulos alternos
internos iguais.
É claro que um meio-giro, R(C, π) é também uma dilatação. Logo um esticão com
meio-giro, R(C, π)D(C, k) =D(C, k)R(C, π), que também se indica por D(C, ¡k), éuma
dilatação. Finalmente as translações T a são dilatações e como veremos de seguida são
estas as únicas dilatações.
Consideremos dois segmentos de recta paralelos, AB k A 0 B 0 . Se existir uma dilatação
δ com δ(A) =A 0 e δ(B) =B 0 temos:
Dado P não colinear com A e B, P 0 = δ(P ) será determinado pela intersecção da
paralela a AP por A 0 com a paralela a BP por B 0 . Se Q está na recta Ã! AB, Q 0 = δ(Q)
é determinado pela intersecção da recta paralela a Ã! PQ por P 0 = δ(P ) com a recta á! A 0 B 0 .
Portanto a imagem de cada ponto é completamente determinada pelas imagens A 0 e B 0
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