Tópicos de Geometria - CMUP

Calculando, obtemos
C q (i) = (cosθ +(sinθ)i) i (cos θ ¡ (sin θ)i) =
= (cos 2 θ)i ¡ sin θ cos θ ¡ (cos θ sin θ)i 2 +(sin 2 θ)i = i
C q (j) = (cosθ +(sinθ)i) j (cos θ ¡ (sin θ)i) =
= ((cos θ)j +(sinθ)k)(cos θ ¡ (sin θ)i) =
= (cos 2 θ)j +(sinθ cos θ)k ¡ (sin θ cos θ)(¡k) ¡ (sin 2 θ)j =
= (cos2θ)j +(sin2θ)k
C q (k) = ¢¢¢=
= (cos2θ)k ¡ (sin 2θ)j
Portanto a matriz de C q relativamente àquela base será
2
1 0 0
3
4 0 cos2θ ¡ sin 2θ 5
sin 2θ cos 2θ
isto é, C q éumarotaçãodeângulo2θ emtornodoeixon. Em particular, vemos também
que C q 2 SO(3).
3. É claro do ponto anterior que uma qualquer rotação de eixo gerado por n 2 S 2 e
ângulo ϕ, pode ser obtida como C q em que q =cosθ +(sinθ)n e θ = ϕ/2. Antes de provar
asegundaafirmação vejamos primeiro a prova de 4.
4. Decorre de um cálculo rotineiro:
C q1 q 2
(p) = q 1 q 2 p q 1 q 2 = q 1 q 2 p q 2 q 1 =
= q 1 C q2 (p)q 1 = C q1 (C q2 (p))
Concluimos assim que a conjugação, C, define um homomorfismo de grupos
C : S 3 ¡! SO(3)
Ora se q =cosθ +(sinθ)n, C q = id se e só se 2θ ´ 0(mod 2π), ousejaθ =0ou θ = π,
eportantoq = §1. Temos assim que o núcleo do homomorfismo é ker C = f1, ¡1g.
Podemos agora concluir a prova do ponto 3.: por definição de núcleo, temos que, para
cada q 2 S 3 , o conjunto dos elementos que têm a mesma imagem que q é C −1 (C(p)) =
fpk : k 2 ker Cg = fq, ¡qg.
Em consequência da prova do teorema anterior, podemos enunciar o seguinte teorema:
Teorema 92 A conjugação induz um isomorfismo
S 3 / f§1g ∼=
¡! SO(3)
Esta descrição do grupo de rotações como S 3 / f§1g é útil em mecânica quântica, no
estudo do "spin".
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