Tópicos de Geometria - CMUP

vértices que são em número finito, S(P ) éumgrupofinito. Comojávimosatrás,S(P )
sendo finito, existe um ponto a fixo por todos os elementos e S d (P ) éentãoumgrupo
de rotações. O ponto fixo a é o centroide de P . Sem perda de generalidade (a menos
de conjugação, Ta
−1 S(P )T a ), podemos supor que a =0, isto é, o sólido está centrado na
origem: então S(P ) é um subgrupo finito de O(3) e S d (P ) de SO(3).
Designamos cada um dos cinco sólidos platónicos pela sua inicial:
T,C,O,D,I. Pela dualidade temos que S(C) » = S(O) , S d (C) » = S d (O) e S(D) » = S(I) ,
S d (D) » = S d (I).
Note-se que como SO(3) tem índice 2 em O(3), S d (P ) é um subgrupo normal de índice
2 em S(P ).
Recorde-se que S n designa o grupo simétrico em n elementos, S n = Bij f1, 2,...,ng, e
A n o(sub)grupo alterno das permutações pares (consultar [2] para as propriedades gerais
destes grupos)
Teorema 104 S(T ) » = S 4 e S d (T ) » = A 4 .
Prova. Numerando os vértices de T com os números 1, 2, 3, 4 , temos claramente um
homomorfismo α : S(T ) ¡! S 4 . Vejamos primeiro que α éumepimorfismo: como
S 4 é gerado por transposições,basta ver que qualquer transposição está na imagem de α;
vejamos para (1, 2), jáqueparasasoutraséperfeitamenteanálogo: claramenteR H em
que H é o plano definido pelos vértices 3, 4 epelopontomédiodaaresta12 ,equeé
o bissector ortogonal de 12,mantém fixos 3 e 4 epermuta1 e 2, logoα(R H )=(1, 2).
O homomorfismo é também claramente injectivo já que qualquer isometria de R 3 fica
determinada pelas imagens de quatro pontos independentes-afim (nestecasoosquatro
vértices de T ).
É claro que uma reflexão R H 2 S(T ) tem de ser daquele tipo: porque é involutiva,
RH 2 = id, se envia um vértice, digamos 1, novértice,digamos2, entãoenvia2 em 1 e
portanto (1, 2) éumciclo de α(R H );setambémpermutasse3 e 4, então seria o produto de
duas reflexõeseportantoumaisometriadirectaoqueéabsurdo,logoseráα(R H )=(1, 2).
Temos, é claro 12 reflexões. Se f 2 S d (T ), entãof é produto de duas reflexões (porque
há um ponto fixo...) e portanto α(f) é produto de duas trnasposições e é portanto par.
Temos assim que α(S d (T )) ½ A 4 .ComoS d (T ) tem índice 2 em S(T ) e A 4 tem índice 2
em S 4 , α induz um isomorfismo : S d (T ) ¡! A 4 .
O exercício seguinte daria também uma prova mais directa deste teorema; dá de
qualquer maneira uma ideia mais clara das simetrias do tetraedro:
Exercício 105 Descreva explicitamente todas as isometrias do tetraedro, em particular
indicando para as rotações os eixos e ângulos, e escreva as correspondentes permutações
dos vértices como produtos de ciclos disjuntos e de transposições.
Os outros quatro sólidos platónicos têm uma propriedade que o tetraedro não possui:
têm simetria central, isto é, são invariantes pela inversão no centro (que supomos ser 0):
I 0 : R 3 ¡! R 3 que envia cada x 2 R 3 para o seu simétrico ¡x.
OgrupoO(3) éisomorfoaSO(3)£f§1g » = SO(3)£Z 2 : é fácil verificar que a aplicação
que envia A em (A, 1) se det A =1eem(I 0 A, ¡1) = (AI 0 , ¡1) se det A = ¡1, éum
isomorfismo.
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