Tópicos de Geometria - CMUP

(a) Dilatações α e β ,diferentes da identidade,comutam sse são translações.
(b) Há exactamente duas dilatações que enviam o círculo C no círculo C 0 .
10. Dado um triângulo agudo (i.e. acutângulo), ∆ABC,construaoquadradoinscritono
triângulo que tem um lado em AB (Sugestão: todos os quadrados são semelhantes...)
11. Investigue a seguinte questão: porque é que o arco-íris é um arco? É um arco de
círculo? (Note que é um fenómeno físico, logo será necessário começar por perceber
a sua explicação física...)
4 Transformações afim deR 2
É possível fazer também, em dimensão 2, não uma classificação, mas uma caracterização
interessante das transformações afim, isto é, aplicações afim injectivas. Recorde,
da subsecção 1.1, que uma transformação afim deR n será do tipo f = T b L em que
L 2 GL(n, R) éumisomorfismo linear. O conjunto das transformações afim é um grupo,
Afim(R n )=A(R n ) de que as isometrias e similitudes são subgrupos:
Isom(R n ) ∙ Sim(R n ) ∙ Afim(R n )
Exercício 47 Verifique que Afim(R n ) édefactoumgrupo.
No caso de R 2 podemos representar f 2 A(R 2 ) de forma análoga às isometrias e
similitudes por uma matriz 3 £ 3: sef = T b L, b =(b 1 ,b 2 ),temos
2 ∙ ¸ 3
2
a11 a 12 b 1
A = 4 a 21 a 22 b 2
5 com jAj 6= 0e ˆf(x, y, 1) = A 4 x 3
y 5
0 0 1
1
Éclaro,dadefinição e da subsecção 1.1, que dados dois triângulos ∆ABC e ∆A 0 B 0 C 0
existe uma e uma só transformação afim que envia um triângulo no outro, seguindo aquela
ordem dos vértices.
Exercício 48 Verifique a afirmação anterior.
Definição 49 Uma transformação diz-se equiafim seéafim e preserva as áreas.
Dada uma transformação afim f = T b L com matriz A, como em cima, então f é
equiafim sse jAj =1: na verdade as áreas das imagens por uma transformação afim são
destorcidas pelo factor jAj: seo∆PQR tem área S, entãof(∆PQR) tem área jAj S.
Exercício 50 Verifique a afirmação.
Hádoistiposespeciaisdetransformaçõesafim doplano,"shears"e "strains"
passamos a descrever.
que
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