Tópicos de Geometria - CMUP

Exercício 144 Dê exemplo de um grupo cristalográfico G, com reticulado L, talqueG
não seja subgrupo de S(L).
Dê exemplo de um grupo cristalográfico G que não contenha nenhum subgrupo isomorfo
ao seu grupo pontual Ḡ.
Em dimensão 3, as diferentes formas que os cristais podem tomar, estão relacionadas
com os possíveis grupos pontuais dosgruposcristalográficos (isto prende-se com o chamado
domínio fundamental para a acção do grupo em R 3 ); pelo Lema e pelo último teorema,
os elementos de Ḡ ∙ O(3) satisfazem a restrição cristalográfica. Mostra-se que, a menos
de conjugação, há exactamente 32 subgrupos finitos de O(3) que satisfazem a restrição
cristalográfica (ver um esquema de prova em [4]): cada um deles é grupo pontual de
um grupo cristalográfico e, com uma única excepção, todos correspondem às formas de
cristais que ocorrem de facto na natureza (ver [11]).
Referências
[1] Cederberg, Judith N., ACourseinModernGeometries, Springer-Verlag (1989)
[2] Fraleigh, John B., A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley
[3] Fenn, Roger, Geometry, Springer-Verlag (2001)
[4] Martin, George E., Transformation Geometry - An Introduction to Symmetry,
Springer-Verlag (1982)
[5] Rees, Elmer G., Notes on Geometry, Springer-Verlag (1983)
[6] Stillwell, John, Geometry of Surfaces, Springer-Verlag (???)
[7] Stillwell, John, Classical Topology and Combinatorial Group Theory, Springer-Verlag
[8] Kuipers, J. B., Quaternions and Rotation Sequences, Princeton University Press
(1998)
[9] Grünbaum and Shephard, Tilings and Patterns, Freeman (1987)
[10] Schwarzenberger, R. L. E., The seventeen plane symmetry groups, Mathematical
Gazette, vol. 58 (1974), 123-131
[11] Buerger, M. J., Elementary Crystallography, John Wiley (1956)
[12] González,A.F.C.eGarcia,B.G.,Arabescos y Geometría, UNED-Espanha (1995)
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