Tópicos de Geometria - CMUP

7.2 Quaterniões unitários:
Um quaternião unitário é um quaternião de norma 1. O conjunto dos quaterniões unitários
identifica-senaturalmenteàesfera tridimensional
S 3 = © q 2 R 4 : kqk =1 ª
Da lei do módulo temos que este espaço é um grupo para o produto, dito Sp(1) (de
"spin", conceito da física (quântica) em que estes grupos têm grande relevância)
Exercício 87 Mostre que S 3 ´ Sp(1) contém como subgrupo (não comutativo)
Q = f§1, §i, §j, §kg
Este grupo, dito quaterniónico, é um dos três grupos (a menos de isomorfismo) não
abelianos, com 8 elementos (outro que já vimos é D 4 )
Se jqj =1, podemos escrever q na forma q =cosθ +(sinθ)n, emquecos θ éasuaparte
real e (sin θ)n a sua parte imaginária, sendo n um imaginário puro unitário; é claro que
os imaginários puros unitários se identificam naturalmente à esfera de dimensão dois:
S 3 \I = © (0,a) 2 R £ R 3 : kak =1 ª ´ S 2
Exercício 88 Mostre que q 2 H verifica q 2 = ¡1 seesóseq é um imaginário puro
unitário;
Portanto em H p
¡1=S
2
e temos assim que o polinómio x 2 +1 temumnúmeroinfinito (mesmo não numerável) de
zeros(oquecontrastacomoquesepassacomospolinómioscomcoeficientes num corpo,
em que o número de zeros é menor ou igual ao grau)
Mais geralmente podemos escrever qualquer quaternião na sua forma polar
q = ρ(cos θ + n sin θ)
ρ = jqj
n 2 = ¡1 , n 2 S 2
Oânguloθ éditooargumento de q, e, tal como no caso complexo, q 2Rsse θ =0ou
θ = π.
Exercício 89 Se q é um quaternião que escrito na forma polar é q = ρ(cos θ + n sin θ),
defina C q como o subespaço vectorial de dimensão 2 de R 4 gerado por 1 e n: éclaroque
C e C q são naturalmente isomorfos através da correpondência a + bi $ a + bn. Considere
o comutador de dois quaterniões, [q, q 0 ]=qq 0 ¡ q 0 q; como se sabe, q e q 0 comutam sse
[q, q 0 ].
Mostre que [q, q 0 ]=¡ [q, q 0 ] eque[q, q 0 ] 2I.Deduzaqueq, q 0 comutam sse um deles
é real ou se q 0 2 C q .
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