Tópicos de Geometria - CMUP

Os grupos finitos de rotações de R 3 são grupos de simetria. Para cada um dos casos
do teorema anterior é possível construir um sólido cujo grupo finito das simetrias consista
apenas de rotações.
Como vimos, no caso dos grupos cíclicos e diedrais esses sólidos podem obter-se de prismas
ou anti-prismas acrescentando telhados; nocasodos3 grupos de rotações de sólidos
platónicos, podemos, analogamente, acrescentar telhados às faces desses sólidos que
impeçam as reflexões mas permitam todas as simetrias rotacionais: por exemplo, considerando
o tetraedro, o octaedro e o icosaedro, podemos acrescentar às faces triangulares
um telhado segundo o padrão representado na figura anterior.
8.6 Subgrupos finitos de I(R 3 )
Comotodoogrupofinito de isometrias, G, tem um ponto que é fixo por todos os seus elementos,
podemos, sem perda de generalidade, supor que G ∙ O(3). Como já classicámos
ocasoG ∙ SO(3), supomos agora que G contém uma isometria inversa.
Distinguimos dois casos, consoante G contém ou não a inversão na origem, I 0 (x) =¡x.
Seja H = G \ SO(3) osubgrupodasrotaçõesdeG e α 1 ,α 2 , ..., α n os seus elementos;
então, se I 0 2 G, as isometrias inversas G ¡ H são I 0 α 1 ,I 0 α 2 ,...,I 0 α n e, à semelhança
do que fizemos para os sólidos platónicos com simetria central, é fácil provar que G é
isomorfo a H £f§1g. Reciprocamente, dado um qualquer subgrupo finito H ∙ SO(3) se
definirmos G por G = H [fI 0 h : h 2 Hg, mostra-se, usando o facto que I 0 comuta com
qualquer f 2 O(3), queG éumgrupoeisomorfoaH £f§1g.
Exercício 123 Prove as afirmações do último parágrafo.
Designemos por H ogrupoH£f§1g eporT , O e I os grupos de rotações do tetraedro,
ocatedro (ou cubo) e icosaedro (ou dodecaedro) respectivamente. Concluímos que se um
grupo de isometrias finito contém a inversão central ele é um dos grupos
C 1 , C 2 , C 3 ,... D 2 , D 3 , D 4 , ... T,O, I
63