Tópicos de Geometria - CMUP

4. Mostre que fα k : k 6= 0g e fβ k g, α k e β k definidas no exercício anterior, formam
grupos abelianos.
5. Determineasequações(amatriz)de
(a) Um shear com eixo y = x.
(b) Um strain com eixo x =5.
(c) um strain de razão k ecomeixo y = mx
6. Mostre que uma homotetia D(C, k) éoprodutodedoisstrains.
7. Diga, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou são falsas:
(a) Uma transformação afim fica determinada pelas imagens de três pontos dados.
(b) Se ∆ABC » = ∆DEF, existe uma única transformação afim α tal que α(A) =
D, α(B) =E e α(C) =F .
(c) Se ∆ABC » ∆DEF, existe uma única transformação afim α tal que α(A) =
D, α(B) =E e α(C) =F .
(d) Dados dois triângulos, ∆ABC e ∆DEF, existe uma única transformação afim
α tal que α(∆ABC) =α(∆DEF).
(e) Strains e shears são equiafins.
(f) Um shear é um produto de strains e similitudes.
(g) Uma transformação afim é um produto de strains e similitudes.
(h) Uma transformação afim é um produto de strains e isometrias.
(i) Uma homotetia é um produto de strains; um strain é um produto de homotetias.
8. Suponha que uma transformação afim é o produto de um strain e uma similitude (ver
exercício que segue um teorema anterior...). Mostre que, então, uma transformação
afim é o produto de dois strains com eixos perpendiculares e uma isometria (Que os
eixos perpendiculares não podem ser escolhidos arbitrariamente, vê-se no exercício
seguinte).
9. Mostre que o shear de equações x 0 = x + y e y 0 = y , não é o produto de strains com
eixososeixoscoordenadosseguidosdeumaisometria.
10. Mostre que os shears não formam um grupo (e os strains?)
11. Prove as seguintes afirmações ou as suas negações:
(a) OsshearsgeramogrupoAfim(R 2 ).
(b) Uma similitude equiafim éumaisometria.
(c) Uma transformação afim involutiva éumareflexão ou um meio-giro.
23