Tópicos de Geometria - CMUP

1. Reflexões em rectas: f = R l .
2. Translações: f = T a .
3. Rotações: f = R(a, θ); esta notação representa a rotação de ângulo θ e centro a (ou
"em torno de a"), isto é, f = T a LT −a em que L 2 SO(2) é a rotação de ângulo θ
emtornodaorigem.
4. Reflexões deslizantes: f = T a R l = R l T a em que a é um vector paralelo à recta l.
As reflexões, em rectas e deslizantes, são as isometrias inversas, sendo as segundas
obtidas como o produto de reflexõesemtrêsrectas,eastranslaçõeserotaçõessãoas
isometrias directas, obtidas como produto de reflexões num par de rectas, paralelas no
primeiro caso, concorrentes no segundo.
Exercício 36 Mostre que as isometrias de R 2 são de facto dos quatro tipos descritos.
Jávimosquetodaaisometria,f 2 I(R 2 ), se escreve como f = T a L, com L 2
O(n). HáummodeloanalíticoparaR 2 , muito útil, em que podemos ver as isometrias, e
mais geralmente as aplicações afim,comorestriçõesdeaplicaçõeslinearesdeR 3 e, assim,
representá-las simplesmente através de uma matriz 3 £ 3.
Identificamos R 2 ao hiperplano de R 3 , ˆR 2 , de equação z =1, através do mergulho
natural
R 2 ! R 3
(x, y) ! (x, y, 1)
Seja f uma aplicação afim∙ dadaporf(x, ¸ y) =L(x, y) +b, emqueL é linear e b =
a11 a
(b 1 ,b 2 );seamatrizdeL é
12
, a aplicação afim correspondente
a 21 a ˆf : ˆR 2 ¡! ˆR 2 ,
22
ˆf(x, y, 1) = (f(x, y), 1) pode ser dada simplesmente por
2
4
a 11 a 12 b 1
a 21 a 22 b 2
0 0 1
Esta representação tem a ver com as chamadas coordenadas homogéneas da geometria
projectiva; o livro de Cederberg indicado na bibliografia, [1], faz um uso deste modelo
analítico do plano euclidiano: consulte o capítulo 3; este livro bem como o de Rees, [5],
contêm introduções à geometria projectiva.
Em particular uma isometria f = T b L, L 2 O(n), b =(b 1 ,b 2 ), representa-se como
com a 2 11 + a 2 12 =1.
2
ˆf (x, y, 1) = 4
3 2
5 4
x
y
1
3
5
∙ ¸
a11 §a 12 b 1
a 12 ¨a 11 b 2
0 0 1
3 2
5 4
x
y
1
3
5
9